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Lösen einer partiellen Differentialgleichung

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Charakteristik, Partielle Differentialgleichungen

Messe687 aktiv_icon

01:06 Uhr, 24.04.2025

Hallo, ich verzweifle gerade leider an einer Aufgabe.
Die Aufgabe lautet:
"Wir definieren die Funktion

f : ℝ^{3} \times (0, \infty) \to ℝ

und

g : ℝ^{3} \to ℝ

durch

f (x, y, z, t) := s i n (x y^{2} + t)

g (x, y, z) := e^{z^{3}}

Geben sie eine explizite Lösung

u \in C^{1} (ℝ^{3} \times [0, \infty))

der partiellen Differentialgleichung
(i)

\partial_{t} u + \partial_{x} u - \partial_{z} u = f

(ii)

u (\dot{}, 0) = g

an. Ist diese Lösung eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort."

In der Vorlesung haben wir die Lösungsmethode durch Charakteristiken kennengelernt. Ich habe die das Beispiel der Vorlesung eigentlich verstanden, wohl aber nicht zu 100%. Ich habe mich daran Orientiert, aber kam nicht auf die Lösung. Hier mein Ansatz:

1) Wir formen den Term (i) um zu:

\partial_{t} u + \partial_{x} u - \partial_{z} u - f = 0

und wollen diesen Integrieren, was durch das Fundamentallemma der Variationsrechnung gleichbedeutend ist.

(*)_{1}

Da fängt schon das erste Problem an. Wie kann ich

f

abschätzen, um die Endlichkeit des Integrals zu garantieren?

2) Außerdem verwenden wir charakteristische Kurven für unsere Variablen. Die Vorzeichen unserer partiellen Ableitungen helfen uns dabei. Wir bekommen also:

x (t) = x_{0} + t

und

z (t) = z_{0} - t

3) Jetzt sollten wir durch umformen von 1) auf unsere Lösung kommen:

u (x, y, z, t) = u (x (t), y, z (t), 0) + \int_{0}^{t} f (x - t - s, y, z - t - s, s) d s

= e^{(z - t)^{3}} + \int_{0}^{t} s i n ((x_{0} + t) y^{2} + s) d s

(*)_{2}

Mein nächstes Problem ist, wenn ich das zurück rechne kommt bei (i) keine Gleichheit raus. Was habe ich falsch gemacht?

Ich wäre für jede Hilfe sehr Dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

10:19 Uhr, 24.04.2025

> und wollen diesen Integrieren, was durch das Fundamentallemma der Variationsrechnung gleichbedeutend ist.

... womit? An der Stelle hätte ich eine Formel erwartet, von der aber nichts zu sehen ist.

P.S.: Wollte nur darauf hinweisen - inhaltlich kann ich dir vermutlich nicht helfen, dazu sind meine Kenntnisse zu partiellen DGL zu schwach und unbedeutend.

Messe687 aktiv_icon

13:49 Uhr, 24.04.2025

Sorry, die 1) war, wie wir überhaupt auf die PDE kommen, was in der Aufgabe, bei der es nur ums Lösen geht, wohl nicht verlangt wird. Falls es doch wichtig wäre oder jemand Interesse hat, kann ich es trotzdem versuchen zu erklären :-)

Die Frage

(*)_{1}

sollte aber, soweit ich es verstanden habe, einfach zu beantworten sein. Wir integrieren nämlich nur über einer offenen Teilmenge des

ℝ^{3}

mit hinreichend glattem Rand. Und auf dieser Teilmenge, sollte die Funktion endlich abschätzbar durch 1 sein, wenn ich richtig liege.

Vielleicht stimmt auch meine Lösung und ich bin nur falsch beim Ableiten. Aber:

\partial t \int_{0}^{t} f (s) d s = f (t)

oder?

Leider stehe ich generell bei dieser Aufgabe ein wenig auf dem Schlauch

HAL9000

14:22 Uhr, 24.04.2025

Dann habe ich dich missverstanden. Dass

\partial_{t} u + \partial_{x} u - \partial_{z} u = f

gleichbedeutend ist mit

\partial_{t} u + \partial_{x} u - \partial_{z} u - f = 0

, dazu braucht man kein Fundamentallemma der Variationsrechnung, sondern das ist an der Stelle eine simple äquivalente Gleichungsumstellung (

- f

auf beiden Seiten). Ich hatte den Verweis daher so aufgefasst, dass noch was kommt (etwa das Integral, über das du einen Zeile später sprichst) - offenbar eine Fehleinschätzung meinerseits.

-------------------------------------------------------------------------------

Nach meinem naiven Verständnis, mit totalem Differential auf deinen charakteristischen Kurven ergibt sich

\frac{d}{d t} u (x_{0} + t, y, z_{0} - t, t) = u_{x} \cdot 1 + u_{y} \cdot 0 + u_{z} \cdot (- 1) + u_{t} \cdot 1 \overset{!}{=} f (x_{0} + t, y, z_{0} - t, t)

(die partiellen Ableitungen im mittleren Term mögen alle ebenfalls an der Stelle

(x_{0} + t, y, z_{0} - t, t)

betrachtet werden) und damit per Integration

u (x_{0} + t, y, z_{0} - t, t) = u (x_{0}, y, z_{0}, 0) + \int_{0}^{t} f (x_{0} + s, y, z_{0} - s, s) d s

,

das ergibt eingesetzt

u (x_{0} + t, y, z_{0} - t, t) = e^{z_{0}^{3}} + \int_{0}^{t} \sin ((x_{0} + s) y^{2} + s) d s = e^{z_{0}^{3}} - \frac{1}{y^{2} + 1} (\cos ((x_{0} + t) y^{2} + t) - \cos (x_{0} y^{2}))

.

Anschließend substituiert man

x_{0} = x - t

sowie

z_{0} = z + t

und bekommt

u (x, y, z, t) = e^{{(z + t)}^{3}} + \frac{1}{y^{2} + 1} (\cos ((x - t) y^{2}) - \cos (x y^{2} + t))

.

Das ist - wie gesagt - meine Sichtweise der Dinge. Was du da oben bei 3) rechnest, ist mir allerdings nicht klar.

EDIT (28.4.):

"Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat."

Schade um die Mühe.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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