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Lösen von Kongruenzen mit 2 Unbekannten
Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie
 
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Guten Tag, ich weiss nicht, wie ich folgende Aufgabe lösen soll: 1) Seien mit . Wieviele Lösungen modulo m hat die Kongruenz mod ? 2) Sei p eine Primzahl, a, b, c ganze Zahlen mit . Zeige, dass die Kongruenz mod lösbar ist. Ich schätz mal es ist weniger schwer 2 zu lösen wenn man 1 bereits gelöst hat, aber da liegt eben das Problem. Das ist das erste mal, das eine Kongruenz mit 2 Unbekannten auftaucht und selbst im Skriptum wird sowas nicht erwähnt. Wie geht man dabei vor? MfG, Noah |
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"selbst im Skriptum wird sowas nicht erwähnt." Kein Lemma, wo c=1 gilt? |
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Hallo, es ist . Da zu teilerfremd ist, ist mod invertierbar, also ist die Kongruenz äquivalent zu mod . Nun lasse man alle Restklassen mod durchlaufen und bedenke dabei, dass auch zu teilerfremd ist. Gruß ermanus |
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Hallo, heisst das, dass die Lösung dann lautet: Es gibt so viele Lösungen wie es Restklassen mod m gibt? Oder habe ich da was falsch verstanden? MfG, Noah |
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Das hast du vollkommen richtig verstanden, also Stück ;-) |
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Okay, vielen Dank für die Hilfe :-) |
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Hallo, scheint als wäre die zweite Teilfrage doch nicht so leicht zu lösen. Sei p eine Primzahl, a, b, c ganze Zahlen mit (ab, p) = 1. Zeige, dass die Kongruenz mod p lösbar ist. (Betrachte dazu die Mengen und ) Mein Ansatz war, dass ich zunächst M=N erkannt habe und dann versucht habe, das minimum bzw maximum beider Mengen gleichzusetzen, aber ich weiss nicht wie ich "Lösbarkeit" beweisen soll. MfG, Noah |
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und sind nicht die gleichen Mengen. Wenn es aber ein Element gibt, dann gibt es ein und ein , so dass , also eine Lösung des Problems. Man muss demnach zeigen, dass ist. |
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Damit im Zusammenhang noch ein Tipp: Wenn man zeigen kann, dass ist, dann folgt zusammen mit auf jeden Fall . P.S.: Diese Betrachtung stimmt selbstverständlich nur für ungerade . Aber im Fall ist Behauptung 2) eh trivial. |
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Genügt um zu zeigen denn nicht einfach ein Beispiel von beliebig gewählten zahlen für a, b, c und p sodass (ab, p) = 1? |
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Wenn beliebig "gewählt" sind und beliebig als Primzahl mit , ist das dann ein Beispiel oder der allgemeine Fall? |
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Hab mich wohl falsch ausgedrückt. Ich habe gemeint, dass wenn ich zB a=2, b=-3, p=5, c=4 setze, dann das Maximum der jeweilgen Menge nehme, dann sind diese ja gleich (8) und somit habe ich eine Zahl z gefunden, die in beiden Mengen ist und der Schnitt ist demnach nicht leer. Ist das richtig? |
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Was ist denn das Maximum einer Menge von Restklassen? |
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Maximum? Du weißt schon, dass die Elemente von und keine Zahlen, sondern Restklassen modulo sind? Was hast du gedacht, wofür das steht? (EDIT: Etwas spät, aber doppelt hält besser!) --------------------------------- Ich weiß auch nicht: Da will man den Fragesteller abholen, noch dazu zielgerichtet auf den Hinweis hin, den er selbst genannt hat - aber er läuft vom Treffpunkt weg in eine ganz andere Richtung: Dorthin wo er meint, ein dünnes Brett erblickt zu haben, was er bohren kann. |
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Ach so ja, kein Maximum natürlich. Was ich meinte ist, ich nehme die Restklasse, inder x den grösstmöglichen Wert annimmt. Da ich p=5 gewählt habe wäre x dann (5-1)/2 =4. Aber ich habe ein Gefühl, dass ich auf dem falschen Weg bin... |
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Deswegen haben HAL9000 und ich dich auf einen anderen Weg geschickt ;-) Es hat durchaus Vorteile, dem Rat zweier gestandener Mathematiker zu folgen. |
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Ich gebe zu, dass ich gestern auch über b) gerätselt hatte, ohne Ergebnis, und erst mit dem Hinweis zu fielen die Schuppen von den Augen. (Naja, Zahlentheorie ist auch nicht mein eigentliches Fachgebiet, da kann ich es verschmerzen.) |
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Hallo, ich scheine leider noch immer Schwierigkeiten zu haben. Könnten Sie den Tipp vielleicht weiter erklären? MfG, Noah |
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Hallo, wieviele Elemente enthält und wieviele enthält ? Du hast doch gestern um 14:43 Uhr ein Beispiel genannt. Bestimme dann einmal und für dieses Beispiel. Vielleicht erkennst du dann besser, was wir dir vermitteln möchten. Gruß ermanus |
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Ich hätte (p-1)/2 Elemente gesagt, aber das scheint ja falsch zu sein, daher weiss ich nicht, wie man auf (p+1)/2 Elemente kommt. MfG, Noah |
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Du hast vermutlich die 0 vergessen. |
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Das habe ich tatsächlich :-) Aber wie man daraus folgern kann, dass der Schnitt grösser gleich 1 ist, ist mir immer noch ein Rätsel. |
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Aha! Wenn alle Elemente von sich von allen Elementen von unterscheiden würden, dann hätte man insgesamt verschiedene Restklassen ... |
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Und das wären dann mehr Elemente als p, was nicht funktionieren würde, da mod p "herrscht", oder? |
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Genau ;-) |
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Endlich hab auch ich es verstanden :-) Vielen Dank für die Hilfe und die Geduld. MfG, Noah |
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Du hast hoffentlich auch nachvollzogen, warum die Restklassen in für tatsächlich paarweise verschieden sind? Denn sonst stimmt ja gar nicht - das ist m.E. ein wichtiger Bestandteil dieses Beweises. |
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Liegt das nicht daran, dass wenn man zwei Elemente aus M hätte die gleich wären ( und , wobei und ) dann hätte man oder was aber beides zu einem Widerspruch führt. Kann aber durchaus sein, dass ich falsch liege. |
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Na zunächst mal haben wir nur . Dasselbe mit einer Nichtprimzahl würde nämlich mitnichten zu führen. Ich hab das nur deshalb aufs Tapet gebracht, weil du oben schon mal Unsicherheiten gezeigt hast hinsichtlich ganzzahlige Werte vs. Restklassen - deswegen war (bin) ich mir nicht sicher, ob du den Schritt hier wirklich restlos verstanden hast. |
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Hallo, Ist meine Aussage also nur richtig bei Primzahlen? Den Grund verstehe ich tatsächlich nicht. Warum ist das denn so? MfG, Noah |
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> Ist meine Aussage also nur richtig bei Primzahlen? Ja klar, in 2) geht es ja auch nur um Primzahlen . Aus folgt für zu teilerfremde zunächst mal , das stimmt auch für Nichtprimzahlen . Es geht weiter mit . Für Primzahlen ist der Restklassenring modulo nullteilerfrei, d.h. aus Gleichung (*) folgt zwingend oder , wobei letzteres wegen deiner Einschränkungen ja ausgeschlossen ist. Aber z.B. für zusammengesetzte Zahlen mit zwei ungeraden Zahlen könnte man jedoch so wählen, dass und gilt, das klappt ja für , und schon wäre es mit der paarweisen Verschiedenheit der Restklassen in dahin... |
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Super, sehr verständlich erklärt. Danke :-) MfG, Noah |
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