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Lösen von Rekurrenzgleichungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Rekurrenzgleichung

ElPierro aktiv_icon

16:02 Uhr, 31.01.2023

Hallo liebe Community,

ich starte meine Anmeldung auf diesem Forum mit einer Frage zum Vorgehen bei Rekurrenzgleichungen. Die Aufgabe gehört zum theorethischen Teil des Moduls "Algorithmen und Datenstrukturen" in meinem Studium.

Es geht um das grundsätzliche Vorgehen beim Lösen von Rekurrenzgleichungen. Das ist bei mir schon etwas her und ich konnte in Lehrbüchern sowie durch eine Internetrecherche, keine passenden Erläuterung oder ein entsprechendes Beispiel dazu finden.

Folgende Aufgabe wurde hier zum Start gestellt:

Rekurrenzgleichung lösen:

f (n) = 2 + f (n - 2)

für

n > 0

f (n) = 0

für

n \leq 0

Ich scheitere hierbei wie zuvor bereits erwähnt beim grundsätzlichen Herangehen der Aufgabe und freue mich daher auf Hilfestellungen hierzu. :-)

Danke euch und viele Grüße,
Pierre

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

16:08 Uhr, 31.01.2023

Ich nehme zunächst mal an, es geht nur um natürliche (oder zumindest ganze) Zahlen

n

, nicht beliebig reelle?

Berechne doch einfach die ersten paar Werte, dann bekommst du vielleicht eine Ahnung von der expliziten Darstellung der Funktion:

f (1) = 2 + f (- 1) = 2 + 0 = 2

f (2) = 2 + f (0) = 2 + 0 = 2

f (3) = 2 + f (1) = 2 + 2 = 4

f (4) = 2 + f (2) = 2 + 2 = 4

f (5) = 2 + f (3) = 2 + 4 = 6

...

Keine Vermutung, worauf das hinausläuft?

ledum aktiv_icon

16:15 Uhr, 31.01.2023

Hallo
man versucht erstmal die ersten paar

f (n)

aufzustellen, dann ergibt sich schon oft eine Regel die man dann mit Induktion über prüft
hier

f (1) = 2 + 0, f (2) = 2 + 0, f (3) = 2 + 2 = 4, f (4) = 2 + 2 = 4 f (5) = 2 + 4 = 6, f (6) = 2 + 4 = 6 f (7) = 2 + 6 = 8

usw vielleicht siehst du das Muster?
oder du rechnest von hinten

f

für

n > 2 f (n) = A \to f (n - 2) = A - 2, f (n - 4) = A - 4

ledum

ElPierro aktiv_icon

16:19 Uhr, 31.01.2023

Danke schonmal euch beiden für die Antwort. Das sieht für mich aus wie eine arithmetische Folge, die sich bei jeder Erhöhung von

n

+ 1

im Ergebnis erhöht.

Wie wird die Gleichung dann aber letzendlich gelöst? Indem ich den nicht expliziten Fall

(n - 1)

angebe?

VG,
Pierre

HAL9000

16:35 Uhr, 31.01.2023

> Das sieht für mich aus wie eine arithmetische Folge, die sich bei jeder Erhöhung von

n

um +1 im Ergebnis erhöht.
Nicht ganz: Einmal gibt es gar keine Erhöhung, das nächste Mal aber gleich um 2 - und das immer im Wechsel.

Du könntest getrennte Darstellungen für gerade sowie ungerade

n

vornehmen. Oder aber andere Techniken nutzen wie beispielsweise die beiden Gaußklammern

⌊ \dots ⌋

(abrunden) sowie

⌈ \dots ⌉

(aufrunden):

f (n) = 2 ⌊ \frac{n + 1}{2} ⌋ = 2 ⌈ \frac{n}{2} ⌉

.

Eine weitere Möglichkeit wäre

f (n) = n + \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2}

.

Die genannten Darstellungen gelten für alle

n \geq 0

(genau genommen sogar schon für

n \geq - 1

). Wie man Gaußklammer bzw. auch die alternierende Folge

{(- 1)}^{n}

für solche Konstruktionen geschickt einbaut, muss man nach und nach üben, das schüttelt man als Anfänger sicher nicht sofort aus dem Hut.

ElPierro aktiv_icon

16:51 Uhr, 31.01.2023

Okay, vielen Dank für die Antwort! Ich sehe mir das dann einmal mit den Gaußklammern ebenso an.

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