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Lösen von Ungleichungen mit Betragsstrichen

Schüler Sekundarschule, 13. Klassenstufe

Tags: Funktion

Killersun88 aktiv_icon

15:28 Uhr, 30.10.2009

Hallo Leute,

ich habe mit dem Studium der Wirtschaftswiessenschaften angefangen und habe Probleme mit Ungleichungen.

Und zwar geht es um folgende Ungleichung:

| x - 3 | < 1

Meine Frage ist jetzt nicht wie das Ergebnis ist, sondern wie man bei sowas vorgeht.
Ich möchte es ja lernen.

Würde mich über eine Antwort freuen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

MBler07 aktiv_icon

15:31 Uhr, 30.10.2009

Hi

Überleg dir zuerst, was die Betragsstriche bedeuten. Dann kannst du eine Fallunterscheidung machen in der die Betragsstriche wegfallen.

Mal ganz kurz. Brauchst du eine längere Antwort?

Grüße

Killersun88 aktiv_icon

15:59 Uhr, 30.10.2009

Ich würde mal sagen du hast den Nagel auf dem Kopf getroffen.
Ich weiß nur das negative Zahlen zwischen Betragsstrichen immer Positiv werden.
Aber was heißt das jetzt für die Funktion?

Shipwater aktiv_icon

16:02 Uhr, 30.10.2009

Also wenn

x - 3

positiv wird kannst du die Betragsstriche ignorieren, da dann ja

| x - 3 |

das Selbe wie

x - 3

ist. Wenn aber

x - 3

negativ wird, was muss man dann machen, um

| x - 3 |

betragsfrei darzustellen?
Am besten an einigen Beispielen ausprobieren, dann wirst du es wahrscheinlich sehen!

Gruß Shipwater

Killersun88 aktiv_icon

16:12 Uhr, 30.10.2009

Du meinst also das

- (x - 3) < 1

rauskommt. Das habe ich auch als Schritt in der Lösung, aber meine Frage an dieser Stelle ist, warum muss man das - vor die

()

setzen und das Ungleichheitszeichen nicht ändern?Vielleicht weil mal es nicht multipliziert?

Shipwater aktiv_icon

16:15 Uhr, 30.10.2009

Für alle

x < 3

ist

| x - 3 |

das Selbe wie

- (x - 3)

.
Probieren wir es mal am Beispiel

x = 2

aus:
Dann ist

| 2 - 3 | = | - 1 | = 1

Und das ist das Selbe wie

- (2 - 3) = - (- 1) = 1

Also für

x > 3

ist

| x - 3 | = x - 3

Und für

x < 3

ist

| x - 3 | = - (x - 3) = 3 - x

Das ist die oben von MBler07 angesprochene Fallunterscheidung.

Gruß Shipwater

Killersun88 aktiv_icon

16:25 Uhr, 30.10.2009

Achso, also so langsam hat es klick gemacht. Ich fasse zusammen. Wir wollen also die Betragsstriche weghaben.

1. Fall:

x > 3,

dann fallen die Betragsstriche weg.
2. Fall: Sozusagen das Umformen der Betragsstriche in eine Klammer für

x < 3

.

Ist das soweit richtig?

Shipwater aktiv_icon

16:30 Uhr, 30.10.2009

2.Fall

x < 3 :

Man kann

| x - 3 |

mit

- (x - 3) = 3 - x

ersetzen.

Gruß Shipwater

Killersun88 aktiv_icon

16:33 Uhr, 30.10.2009

YES. Ich habe es verstanden. Ich rechne das nochmal durch um es zu behalten, danach folgt die nächste Aufgabe :-).

Shipwater aktiv_icon

16:49 Uhr, 30.10.2009

Ok :-)

Und noch einfach so: Man hätte auch quadrieren können, da

{(x - 3)}^{2}

ja das Selbe wie

{(3 - x)}^{2}

ist. Ich finde es mit der Fallunterscheidung aber leichter.

Shipwater

Killersun88 aktiv_icon

16:58 Uhr, 30.10.2009

x²+x-2/x²-1<1

So hier würde ich erstmal |*(x²-1) rechnen.

1.Fallunterscheidung:

x > 1

x²+x-2<x²-1 |-x²+2

x < 1

2.Fallunterscheidung->

x < 1

x²+x-2>x²-1 |-x²

| + 2

x > 1

Ist das soweit richtig Gerechnet?

Und was bekomme ich als Lösung raus?

Shipwater aktiv_icon

16:59 Uhr, 30.10.2009

Bin warm ;-)

Killersun88 aktiv_icon

17:27 Uhr, 30.10.2009

Habe meinen Post oben bearbeitet und die Aufgabe da eingefügt, falls du das übersehen hast.

Oder kommt dein 4-Takt Motor nicht auf Touren. :-D)

Shipwater aktiv_icon

17:33 Uhr, 30.10.2009

Soll die Aufgabe so aussehen?:

\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 1} < 1

Killersun88 aktiv_icon

17:34 Uhr, 30.10.2009

Jo, habe das iwie net hinbekommen.Also das unter den Bruchstrich zu bekommen.

Shipwater aktiv_icon

17:38 Uhr, 30.10.2009

Ok, du hast richtig gerechnet

=)

Also du hast die Bedingungen

x > 1

und

x < 1

gegeben und es gibt aber keine Zahl die beide Bedingungen erfüllt, also leere Lösungsmenge.

Gruß Shipwater

Killersun88 aktiv_icon

17:42 Uhr, 30.10.2009

Ich glaube ich breche Wiwi ab und studiere Mathe :-D)

Shipwater aktiv_icon

17:46 Uhr, 30.10.2009

Ich bin mir jetzt grad selber nicht so sicher, aber ich glaub leere Lösungsmenge stimmt.

Killersun88 aktiv_icon

17:47 Uhr, 30.10.2009

Also Lösung habe ich aufjedenfall

xe(-unendlich,-1)

Aber was das heißt, weiß der Geier.

Shipwater aktiv_icon

17:52 Uhr, 30.10.2009

Hmm, also

- 1

kann keine Lösung sein, da es nicht einmal in der Definitionsmenge ist.

Gruß Shipwater

Killersun88 aktiv_icon

18:09 Uhr, 30.10.2009

@Shipwater

Ich bedanke mich erstmal bei dir für deine Hilfe, ich werde Morgen auch nochmal ein bisschen machen, vielleicht kommt es da ja auch zu Fragen bei denen du mir helfen kannst :-)

Vielen dank nochmal.

MfG

Killersun

Shipwater aktiv_icon

18:20 Uhr, 30.10.2009

Ich glaube, dass die obige Angabe meint, dass die Ungleichung für alle

x

kleiner

- 1

erfüllt ist. Wie man da jetzt aber von

x > 1

und

x < 1

draufkommt weiß ich leider nicht.

Gruß Shipwater

MBler07 aktiv_icon

22:23 Uhr, 30.10.2009

War leider den restlichen Tag weg. Möchte hier aber noch mal ein paar Kommentare abgeben:

@shipwater:
"Man hätte auch quadrieren können"
Immer vorsicht mit dem quadrieren. Da das keine Äqivalenzumformung ist, schafft es bei sowas meistens mehr Probleme, als es beseitigt.

Zu der zweiten Aufgabe:
-gelöscht-

Edit: Falsche Teile gelöscht. Korrektur in der nächsten Antwort.

Killersun88 aktiv_icon

23:46 Uhr, 30.10.2009

ich danke auch dir für die Antwort MBLer07.

Diese Ungleichungen sind echt sehr verwirrent.

Eine kleine Frage hätte ich da noch. Sind Ungleichungen denn so Wichtig für die Lineare Optimierung?Denn ich glaube wir machen den Stoff nur um uns für die Lineare Optimierung vorzubereiten oder täusche ich mich da?

MBler07 aktiv_icon

15:41 Uhr, 31.10.2009

Ich hab noch mal über die Aufgabe nachgedacht und versucht sie so zu lösen. Leider ist es mir nicht gelungen...

Lass also lieber das kürzen. Desweiteren ist es unnötig (falsch) Nenner und Zähler zu betrachten. Es reicht den Vorzeichenwechsel beim Nenner zu bestimmen. Frag mich aber nicht warum. Vermutlich weil du mit diesem multiplizierst.

Also hier mal der korrekte Weg:

1)

Definitionsbereich:

x \in ℝ

{

- 1; 1}

2)

Wann ändert sich das Vorzeichen des Nenners nicht?

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

Wenn

x - 1 < 0

und

x + 1 < 0

x < 1

und

x < - 1

x \in (- \infty; 1)

und

x \in (- \infty; - 1)

gesamt:

x \in {- \infty; - 1}

oder

x - 1 > 0

und

x + 1 > 0

x > 1

und

x > - 1

x \in (1; \infty)

und

x \in (- 1; \infty)

gesamt:

x \in {1; \infty}

ist.

3)

Für

x \in (- \infty; 1) ⋂ (1; \infty)

bleibt das Vorzeichen des Nenners gleich. Also kann man einfach mit dem Nenner multiplizieren:

x^{2} + x - 2 < 1 \cdot (x^{2} - 1)

x - 2 < - 1

x < 1

\to L = {- \infty; - 1}

Der Rest ist ja nicht in diesem Intervall.

4)

Was noch bleibt:

x \in (- 1; 1)

. In diesem Intervall wird das Vorzeichen des Nenners negativ und das größer Zeichen dreht sich um:

x^{2} + x - 2 > x^{2} - 1

x - 2 > - 1

x > 1

\to L = {}

Da dieser Bereich nicht im Inetervall ist.

5)

Gesamtlösungsmenge
Da nur im ersten fall eine Lösung existiert, ist dies die einzige:

L = {- \infty; - 1}

Es tut mir Leid dir eine falsche Antwort gegeben zu haben und dich dadurch evtl verwirrt zu haben. Dieser Weg hier sollte immer funktionieren. Vergiss das andere, was ich geschrieben habe.

Ungleichungn brauchst du bei vielen Themen. Wenn du

z . B

. eine Kostenfunktion und eine Umsatzfunktion hast, dann solltest du natürlich nur soviel produzieren, dass die Umsatzfkt. größer als die Kostenfkt ist. Zumindest als normaler WiWi.

Edit: Hinweis von Shipwater eingebaut. Danke.

Shipwater aktiv_icon

15:47 Uhr, 31.10.2009

Hallo MBler07,

Aufpassen bei dir wurde ">-" zu

≻

umgeschrieben! Du musst ein Leerzeichen dazwischen lassen, damit es korrekt dargestellt wird, also so: "> -", dass wird dann zu

> -

Shipwater

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