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Lösen von linearen Kongruenzgleichungen

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Algebraische Zahlentheorie

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Teilbarkeit

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Elementare Zahlentheorie, Teilbarkeit

 
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Claudia-88

Claudia-88 aktiv_icon

16:20 Uhr, 17.06.2011

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Hallo,

ich soll folgende vier lineare Kongruenzgleichungen (ich verwende das "=" als Zeichen) lösen... allerdings hab ich es noch nicht so richtig verstanden, daher würde ich mich freuen, wenn mal jemand rüberschaut.


Gleichung 10x=4mod20
ggt(10,20)=10 ⇒10 teilt 4 nicht ⇒ es existiert keine Lösung


Gleichung 5x=15mod20
ggt(5,20)=5 ⇒5 teilt 20⇒ es existieren 5 (?) Lösungen
Ich dachte, Zahlen sind dann kongrueznt, wenn sie denselben Rest lassen, also 5x:20 muss denselben Rest lassen wie 15:20. 15:20 wäre Restklasse 5 oder?
Damit könnte x=1 sein. Ist das so richtig? Müsste es aber nicht weitere Lösungen geben?


Gleichung 21x=6mod48
ggt(21,48)=3 ⇒3 teilt 6⇒ es existiern 3 (?) Lösungen
Man kann hier kürzen:
7x=2mod16
Nun suche ich wieder eine Zahl 7x, die den selben Rest beim Teilen durch 16 lässt. wie 2:16, was ja 14 ist oder?
Damit müsste x=2 sein.


Gleichung 8x=6mod15
ggt(8,15)=1 ⇒1 teilt 6⇒ Es existiert genau eine Lösung
Wieder: Was ergibt 6:15? ⇒ Rest 3, also suche 8x:15=3
x=1⇒8:15⇒ Rest 7
x=2⇒16:15⇒ Rest 1
x=3⇒24:15⇒ Rest 9
x=4⇒32:15⇒ Rest 2
x=5⇒40:15⇒ Rest 10
x=6⇒48:15⇒ Rest 3⇒ Ist Lösung


Soooo, was hab ich denn nun richtig gemacht und was nicht?
Und wie würde man das ganze formal richtig aufschreiben? Könnte mir das bitte jemand mal vormachen?

Lg, Claudi


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Gerd30.1

Gerd30.1 aktiv_icon

13:07 Uhr, 18.06.2011

Antworten
1) richtig
2)5x≡15mod20≡x≡5mod20
3)21x≡6mod48⇔7x≡2mod48⇔x=14mod48
4)8x≡6mod15⇔4x=3mod15⇔x=12mod15
Claudia-88

Claudia-88 aktiv_icon

17:12 Uhr, 18.06.2011

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Hallo gerdware,


vielen Dank, dass du etwas zu den Gleichungen geschrieben hast.
Ich habe aber noch immer Verständnisproblemme...
Warum erhält man für das x denn keine "eindeutige" Lösung wie bsp. bei analog zu lösenden Diohantischen Gleichungen?

Gleichung 2)
5x=15mod20
Uns wurde gesagt, dass man, wenn sich alle Bestandteile kürzen lassen, auch kürzen kan.
Das würde hier mit "durch 5" gehen, also
x=3mod4
Also muss 3:4 kongruent zu x:4 sein?!


Gleichung 3)
21x=6mod48
Warum kürzt du nie die Zahl hinten mit?
Ich: 7x=2mod16
Du: 7x=2mod48


Gleichung 4)
analoges Problem Gleichung 3.



Da ich ja anscheinend überhaupt nichts verstehe (z.B. wie man kürzt... da wir das in der Übung wirklich anders gemacht haben), hätte ich gerne mal eine Schritt für Schritt erklärung für Doofe bitte, wie man eine Kongruenzgleichung löst (an einem der Bsp. oder an einem anderen analogen Fall)!!!

Und vor allem, was ist an den "Erklärung" falsch (an Gleichung 2)? Wo liegen meine Verständnisprobleme?
Ich habe jetzt zwei Versionen:
1. Version:
- (Man kürzt Gleichung sofern mgl. soweit wie mgl.)
- Man sucht ein x, so dass x:20 den selben Rest lässt wie 15:20
- Dies wäre hier mit x=1 gefunden.
- Dann schreibt man x=1 (das Gesuchte x)mod20 ?!

2. Version:
- Man kürzt Gleichung sofern mgl. soweit wie mgl.: x=3mod4
- Man sucht ein x, so dass x:4 den Rest 3 lässt ⇒x=7
- Dann screibt man x=7mod4 ?!

Lg, Claudi
Antwort
Gerd30.1

Gerd30.1 aktiv_icon

20:33 Uhr, 18.06.2011

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du befindest dich jeweils in einem Restklassenring ,z.B. mod20={0,1,...20}. Alles spielt sich in dieser Struktur ab, dabei ändert sich modulo 20 nicht!!

Gleichwohl hast du keinen Fehler gemacht, denn es gilt z.B:
5x=15mod20⇔5x=20n+15⇔x=4n+3⇔x=3mod4

nur war das nicht die Aufgabe!!

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