Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lösung DGL-System aus Jordanform ablesen?

Lösung DGL-System aus Jordanform ablesen?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Jordan Normalform

nEmai aktiv_icon

20:11 Uhr, 23.02.2012

Hiho,

es gilt ein DGL-System zu lösen.

A Y = Y ʹ

mit

Y = (y 1, y 2, y 3)^{T}

A = (\begin{array}{rcl} 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

Die Jordan-Normalform zu A lautet:

J = (\begin{array}{rcl} 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

Ich Frage mich allerdings, was ich jetzt damit mache, was ist denn nun die Lösung meines Systems? In meinem Mathematikskript ist das derart allgemein und mit derart vielen Variablen skizziert, dass ich beim besten Willen nichts damit anfangen kann. :/

Gruß und Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

03:02 Uhr, 24.02.2012

Hallo,

Zunächst einmal: Deine Jordan-Normalform ist keine Jordan-Normalform. Dort dürfen nur Eigenwerte auf der Diagonalen, 0 oder 1en auf der ersten Nebendiagonalen und sonst nur Nullen stehen.

Dann zum Skript: An der Jordan-Normalform kann man die Lösung ablesen. Eigentlich müsste man das alles mal nachrechnen, ist aber wirklich eine Rechenschlacht. Hat man das allerdings mal getan, so weiß man, wie die Lösung aussieht, wenn die Matrix in Jordan-Normalform ist.

Da das im Skript (ohne es zu kennen) allgemein gehalten ist, würde ich einmal vorschlagen, du wendest es auf deinen konkreten Fall an. Dort steht wahrscheinlich so etwas wie

λ_{i}

, welches im Allgemeinen die Eingenwerte sind, und

n

, was die Dimension des Raumes ist. In deinem Fall ist

n = 3

und (falls du dich bei den Eigenwerten nicht verrechnet hast)

i = 1

und

λ_{1} = 2

. Bitte prüfe das nach.

Im Allgemeinen musst du aus dem Skript schließen, wie die dort beschriebene Lösung gemeint ist, das kann ich dir aus der Ferne auch nicht erklären. Zudem sollte man auch lernen, wie man allgemeine "Formeln" aus dem Skript auf einen konkreten Fall anwendet.

Lieben Gruß
Sina

nEmai aktiv_icon

03:34 Uhr, 24.02.2012

Eines vorweg:
Ich bin ja echt niemand, der sofort die Krise kriegt, wenn da mal eine allgemeine Formel mit 3 Variablen steht, aber da fehlt mir zum größten Teil jeder Bezug ..ich habe keine Ahnung was v.A. z.B. dieses m darstellen soll. (es ist auch nirgendwo genannt)

Du sagst, meine Matrix ist keine Jordan Normalfrom, das finde ich merkwürdig. Der einzige Eigenwert der Matrix ist 2, das heißt sie hat nur einen Eigenvektor. Habe dazu noch zwei Hauptvektoren gebildet - jetzt wurde mir das laut Skript als Transformationsmatrix zur Jordan Normalform verkauft.
Aber gut, Maple sagt mir die Jordan Normalform is zweien auf der Hauptdiagonalen, einsen auf der Nebendiagonalen, das kann ich auch gerne erst mal akzeptieren. Aber wie kriege ich denn da nun mein Ergebnis raus?

virus01 aktiv_icon

09:48 Uhr, 24.02.2012

Hey nur mal zur Kontrolle:

Ich habe die Eigenvektoren zu einer Transformationsmatrix T zusammengefasst:

$T = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$

Dann habe ich die inverse davon gebildet:

$T^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})$

Wenn man nun $T^{- 1} * A * T$ nimmt, bekommt man:

$(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ das sollte die Jordan-Normalform sein.

Nun frage ich mich auch wie man die homog. Lösung davon abließt.

Danke

Gruß

Virus

pwmeyer aktiv_icon

10:21 Uhr, 24.02.2012

Hallo,

es gibt verschiedene Varianten, sich aus der Jordan-Form oder auch einfach aus der Kenntnis der Hauptvektoren ein Fundamentalsystem zu verschaffen. Es ist also zweckmäßig, sich an Vorlesung und Übung zu orientieren.

Wenn man jetzt die Info über die JordanNormalForm nimmt; dann sagt das System

y' = J \cdot y :

y'_{3} = 2 \cdot y_{3} \Rightarrow

y(t)=epx(2*t)*c

y'_{2} = 2 \cdot y_{2} + y_{3} .

D . h

. man kann dieses System sukzessiv lösen.

Gruß pwm

976237

976149

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?