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Lösung Kubische Funktion bei geg Extrema Intervall

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Extrema, Funktion, Gleichung., Intervall, Lösung

Lat3rne aktiv_icon

18:21 Uhr, 10.07.2021

Hallo Liebe Leute,
ich stehe vor folgendem Problem. Ich möchte die Funktionsgleichung einer kubischen Funktion aufstellen. Das an sich ist nicht kompliziert. Die Gleichung soll aber noch die Bedingung erfüllen, dass das Minimum und nur das Minimum in einem bestimmten Intervall liegt. Gegeben sind 3 Punkte: 2 beliebige

P_{1} (x_{1} ∣ y_{1})

und

P_{2} (x_{2} ∣ y_{2})

sowie der Punkte wo das Minimum liegen soll

P_{3} (x_{3} ∣ y_{3})

Mit der allgemeinen Funktionsgleichung für kubische Funktionen

f (x) = a_{4} \cdot x^{3} + a_{3} \cdot x^{2} + a_{2} \cdot x + a_{1}

mit

f ʹ (x) = 3 a_{4} \cdot t x^{2} + 2 a_{3} \cdot x + a_{2}

habe ich das folgende GLS aufgestellt und dann gelöst. Die letzte Gleichung entspricht der Ableitungsbedingung für die Extremstelle an

P_{3}

a_{4} \cdot x_{1}^{3} + a_{3} \cdot x_{1}^{2} + a_{2} \cdot x_{1} + a_{1} = y_{1}

a_{4} \cdot x_{2}^{3} + a_{3} \cdot x_{2}^{2} + a_{2} \cdot x_{2} + a_{1} = y_{2}

a_{4} \cdot x_{3}^{3} + a_{3} \cdot x_{3}^{2} + a_{2} \cdot x_{3} + a_{1} = y_{3}

3 a_{4} \cdot x_{3}^{2} + 2 a_{3} \cdot x_{3} + a_{2} = 0

Jetzt ist das Problem, dass natürlich in dem Intervall auch ein Maximum oder Maximum und Minimum liegen kann. Wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte, wie ich mein Problem löse, wäre ich sehr dankbar. Mein Ansatz dazu wäre über die zweite Ableitung zu gehen, allerdings wären damit nur größer kleiner Aussagen möglich. So richtig vorangebracht hat mich dieser Ansatz noch nicht. Achso noch zu erwähnen ist, dass

P_{1}

und

P_{2}

die Randpunkte des Intervalls sind.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

rundblick aktiv_icon

18:56 Uhr, 10.07.2021

.
"Achso noch zu erwähnen ist,
dass

P 1

und

P 2

die Randpunkte des Intervalls sind. "

Achso,
.. du meinst wohl, dass die

\to

x-Werte der beiden Punkte die Grenzen des

\to

Intervalls festlegen?
zB:

x_{1} \leq x \leq x_{2}

Aber: findest du nicht auch, dass es vielleicht eine gute Idee wäre, uns eine Kopie des
Originaltextes der Aufgabe zu gönnen?

.

Lat3rne aktiv_icon

19:13 Uhr, 10.07.2021

Hallo Rundblick,
vielen Dank für deinen Beitrag. Es gibt keine Aufgabe zu dem Problem. Ich habe mal ein Bild hochgeladen vllt ist es dann entspannter die Problematik nachzuvollziehen. Also das Minimum soll quasi beliebig verschiebbar sein, aber die Koordinaten sind immer bekannt.

ledum aktiv_icon

19:43 Uhr, 10.07.2021

Eine Fkt dritten Grades ist symmetrisch zu ihren Wendepunkt, als kannst du einfach den Wendepunkt in einen der 2 Randpunkte legen.
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

19:52 Uhr, 10.07.2021

.
"Es gibt keine Aufgabe zu dem Problem"

aha - so ganz aus der Luft gegriffen war das Problem ohne Vorgeschichte unvermutet plötzlich da?

" Ich habe mal ein Bild hochgeladen"

ok - damit bilde ich folgende Sätze :

\to P_{3}

kann als Ursprung des KS genommen werden

P_{3} (0; 0)

.......(Verallgemeinerung später durch Verschiebungsvektor

\vec{v_{3}})

\to x_{1} < 0

und

x_{2} > 0

und

: y_{1} > 0

und

y_{2} > 0

\Rightarrow a_{4} < 0

...

.

und zB:

P_{2}

sei der Wendepunkt - um den guten Vorschlag
von ledum aufzugreifen (sie wird dich sicher nun weiter beraten)
.

Atlantik aktiv_icon

20:20 Uhr, 10.07.2021

Ich habe dir eine Zeichnung erstellt, mit der Möglichkeit der allgemeinen Lösung:

N8eule

16:34 Uhr, 12.07.2021

Hallo
Wenn ich anmerken darf...
So richtig verständlich gemacht, hast du noch nicht, was das wirkliche Problem ist, bzw. wie wir beitragen könnten.
Wie du ja schon richtig angesetzt und beschrieben hast, hast du durch

>

drei Punkte

(d . h

. deren Koordinaten)

>

und einmal Ableitung (Ableitung=0 im Minimum)
insgesamt 4 Angaben für 4 Koeffizienten,
oder schon ausgeführt 4 Gleichungen für 4 Unbekannte.

In anderen Worten, wenn du sinnvolle Eingaben tätigst, kommt auch das gewünschte raus.
In nochmals anderen Worten:
Durch die 4 Angaben ist die Polynomfunktion 3.ten Grades eindeutig bestimmt.
Wenn du 4 sinnvolle Angaben tätigst, dann erfüllt sie auch die Forderung nach
"Jetzt ist das Problem, dass natürlich in dem Intervall auch ein Maximum oder Maximum und Minimum liegen kann."
Wenn du widersprüchliche Angaben tätigst, dann reagiert die Mathematik konsequent. Es kommt trotzdem ein eindeutiges Polynom 3.ten Grades raus, weil eben mit 4 Angaben nur exakt eine Polynom-Funktion 3.ten Grades beschrieben ist.
Ob die dann irgendwelche Forderungen nach zusätzlichen Intervallen, Maxima,

o

.ä. erfüllt, kannst du nur noch kontrollieren, nachrechnen, mit ja oder nein beantworten.
Welches Problem sich aber noch ergeben sollte, hast du noch nicht verständlich machen können.

Lat3rne aktiv_icon

19:05 Uhr, 12.07.2021

Vielen Dank für eure Hilfe und Beiträge. Ich habe den Beitrag von ledum (und andere) aufgenommen. Leider konnte diese gute Idee mein Problem nicht lösen. Der Grund dafür ist, dass um die Funktion so festlegen zu können wie ich beschrieben habe, braucht es 5 Randbedingungen, da es sonst immer einen Freiheitsgrad gibt wohin die Funktion ausweichen kann. Nunja 5 Randbedingungen und nur 4 zu bestimmende Parameter, damit ist das GLS überbestimmt und somit kann das GLS nicht eindeutig gelöst werden. Genauer habe ich das in Matlab programmiert, es folgt eine nicht invertiertere Matrix :(

Das Gleichungssystem sehe so aus (5. Gleichung enthält die Wendepunktbedingung)

a_{4} \cdot x_{1}^{3} + a_{3} \cdot x_{1}^{2} + a_{2} \cdot x_{1} + a_{1} = y_{1}

a_{4} \cdot x_{2}^{3} + a_{3} \cdot x_{1}^{2} + a_{2} \cdot x_{2} + a_{1} = y_{2}

a_{4} \cdot x_{3}^{3} + a_{3} \cdot x_{3}^{2} + a_{2} \cdot x_{1} + a_{3} = y_{3}

3 \cdot a_{4} \cdot x_{3}^{2} + 2 \cdot a_{3} \cdot x_{3} + a_{2} = 0

6 \cdot a_{4} \cdot x_{2} + 2 \cdot a_{3} = 0

Ich glaube mit einer kubischen Funktion bzw. einem Polynom 3. Grades ist es nicht lösbar und mit Polynomen höheren Grades gibt es andere Probleme. Wahrscheinlich ging aus meiner Erklärung nicht deutlich genug hervor, dass das Minimum sowohl in y als auch in x Richtung beliebig verschiebbar sein soll.

Roman-22

22:30 Uhr, 12.07.2021

>

Wahrscheinlich ging aus meiner Erklärung nicht deutlich genug hervor, dass das Minimum sowohl in

y

als auch in

x

Richtung beliebig verschiebbar sein soll.
Es ist auch jetzt nicht klar, was du damit meinst!
Da

P_{3} (x_{3} / y_{3})

ja ein beliebig wählbarere Angabepunkt mit den Einschränkungen

x_{1} < x_{3} < x_{2}

sowie

y_{3} < y_{1}

und

y_{3} < y_{2}

ist, was soll in diesem Zusammenhang "verschiebbar" bedeuten?

Außerdem legt deine Zeichnung die Beziehung

y_{1} = y_{2}

nahe - Absicht?

Lat3rne aktiv_icon

00:32 Uhr, 13.07.2021

Also die Koordinaten des Extrempunktes sollen frei wählbar sein, aber immer bestimmt. Also nicht die Parameter

(a_{4}, a_{3}, a_{2}, a_{1})

sollen bestimmen wo der Extrempunkt liegt, sondern die Parameter ergeben sich durch Vorgabe des Extrema. Ist das verständlich? und ja erstmal soll gelten

y_{1} = y_{2}

Roman-22

02:46 Uhr, 13.07.2021

>

sondern die Parameter ergeben sich durch Vorgabe des Extrema. Ist das verständlich?
Ja, und so hatte ich es ja auch geschrieben, oder? Eben mit den genannten Vorgaben bezüglich der Punktkoordinaten, denn sonst gibt es mit Sicherheit keine gewünschte

>

Lösung.erstmal soll gelten

y 1 = y 2

.

Ja, das ist nur in deiner Zeichnung aufgefallen, aber kaum eine Einschränkung und für die Rechnung auch keine Hilfe.

Wie die Eule

i . W

. schon so wortreich schrieb, ist durch die Vorgabe deiner drei Punkte und die Forderung, dass

P_{3}

ein Extrempunkt sein soll, die Kubik

i . a

. bereits vollständig und eindeutig bestimmt. Mehr darf man sich da also nicht mehr wünschen.

Ob der Extrempunkt nun wirklich ein Minimum ist und ob der x-Wert des zusätzlich noch möglichen Maximums der Kubik nicht vielleicht auch unerwünschterweise im Intervall

(x_{1}; x_{2})

liegt, bestimmen die konkreten Angabekoordinaten der drei Punkte.

Gilt

y_{2} = y_{1} > y_{3},

dann ist zumindest sichergestellt, dass es sich bei dem Extremum in

P_{3}

um ein Minimum handelt.

Vielleicht wäre es hilfreich, wenn du verrätst, worum es bei dieser Aufgabe konkret geht.

Die nachstehende Zeichnung zeigt, wie sich der Graph der kubischen Funktion ändern kann, wenn man die beiden Randpunkte

P_{1}

und

P_{2}

fest lässt und nur das Minimum

P_{3}

in waagerechter Richtung verschiebt. Nur der mittlere Fall erfüllt auch deine Forderung, dass zwischen den beiden Punkten

P_{1}

und

P_{2}

keine weitere Extremstelle liegen darf. Es gibt also keinesfalls zu jeder Angabesituation eine befriedigende Lösung!

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