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Lösung einer Aufgabe der 57. Mathematik-Olympiade
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Tags: Algebraische Zahlentheorie
 
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Servus allerseits, ich schreibe im Moment meine Zulassungsarbeit und möchte optional folgende Aufgabe zusätzlich einfügen. Sie wurde dieses Jahr bei der . Mathematik-Olympiade gestellt, es gibt jedoch online noch noch keine Lösungen. Ich bin noch nicht draufgekommen und wäre um jede Hilfe dankbar ;-) Hier die Aufgabe: Lara sagt zu Paul und Simon: „Ich habe mir zwei natürliche Zahlen ausgesucht, die beide größer als 1 sind und deren Summe kleiner als ist.“ Sie verrät Simon nur den Wert der Summe und Paul nur den Wert des Produkts dieser beiden Zahlen. Simon erklärt: „Ich habe alle möglichen Paare von Summanden größer als 1 bestimmt, die den mir von Lara verratenen Summenwert haben. Dann habe ich die Produktwerte der jeweiligen Paare berechnet. Leider lässt sich aus keinem dieser Produktwerte der Summenwert eindeutig bestimmen.“ Paul erwidert darauf: „Jetzt kenne ich die Summe. Übrigens ist das Produkt der von Lara ausgesuchten Zahlen das größte der von dir berechneten Produkte.“ Ermittle aus diesen Angaben die von Lara ausgesuchten Zahlen. In meiner Zulassungsarbeit geht es um eine ähnlichen Typ von Aufgabe, bei dieser hier bin ich bisher jedoch ratlos. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, angenommen, die Summe wäre . Dann hätte Simon diese Summe in alle Paare zerlegt und dabei auch in das Paar und . Dann hätte er das Produkt der beiden ermittelt und dieses versucht in verschiedene Faktorenpaare zu zerlegen. Da und Primzahlen sind, wäre das Paar bis auf die Reihenfolge einzige Zerlegung und die Summe aller möglichen Paare wäre mit eindeutig. Verallgemeinert kann man also sagen, dass sich die Summe, die von 4 bis jede natürliche Zahl sein kann, nicht als Summe von zwei Primzahlen darstellbar sein darf. Denn dann gäbe es ein Produkt, bei dem die Zerlegung in Summanden eindeutig ist und damit auch die Summe. Also mach mal eine Liste mit den Zahlen, die nicht als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist. Dann geht es weiter! . keine |
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