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Lösung einer DGL der Form ay'(t)+y(t)=k(t)
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: exponential integrator, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Local time integration
 
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Hallo, ich sitze grad vor einer ODE für das verallgemeinerte Maxwell Modell (Strukturmechanik) und versuche die Gleichungen nachzuvollziehen. Die Ausgangs-ODE lautet ay'(t)+by(t)=k(t) mit Anfangswert und . Die triviale Lösung lässt sich durch recht einfach über die e-Funktion berechnen: y(t)=exp(-t/a)*y0+C(t). Allerdings weiss ich dann nicht, wie ich bestimmen kann. In Wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integrator#cite_note-Exponential_integrators-3 gibt es ein sehr änhliches Verfahren, allerdings ist die Grundform der ODE ein wenig anderes, da dort ist eine beliebige Zahl. Hier weiss ich nicht, wie ich auf das in Wikipedia aufgestellte Integral komme bzw. wie es für meine ODE ausssieht. Kann mir jemand weiterhelfen? Besten Dank Jules Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Deine Begriffsbildungen bewegen sich etwas außerhalb des Standards: Was du mit "triviale" Lösung bezeichnest, nennt man gewöhnlich "homogene Lösung" bzw. genauer gesagt "Lösung der homogenen Gleichung". Was du dann allerdings mit willst, verstehe ich nicht. Bei solchen Inhomogenen Linearen DGL geht man eigentlich so vor: Lösung der homogenen Gleichung (hast du ja getan) und dann Variation der Konstanten, das ist dann aber (also Produkt statt Summe mit dem C(t)). Dies eingesetzt in die inhomogene Original-DGL ergibt sich was man dann noch integrieren muss, um an zu gelangen. |
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Vielen Dank für die Aufklärung, ich bin mit den Begrifflichkeiten leider durcheinander gekommen. Wenn ich dann y(t)=exp(−t/a)⋅C(t) und y'(t)=-1/a*exp(-t/a)*C'(t) in die ursprüngliche ODE einsetze, komme ich auf exp(-t/a)*(C(t)-C'(t))=k(t). Hier habe ich dann allerdings noch und drin, in deinem Ergebnis ist allerdings nur drin. Was ist hier der Rechenschritt, der mir zum Ergebnis fehlt? |
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Deine Ableitung ist falsch: Streng nach Produktegel gilt . Ich sehe gerade, ich hab tatsächlich noch einen Fehler drin, aber einen anderen: Tatsächlich bekommt man . |
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Oh, so ein Fehler ist ja peinlich, da hab ich einfach die Produktregel ignoriert... Habs verstanden, herzlichen Dank! |
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