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Lösung einer DGL der Form ay'(t)+y(t)=k(t)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: exponential integrator, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Local time integration

 
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Jules-333

Jules-333 aktiv_icon

13:02 Uhr, 14.09.2021

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Hallo,

ich sitze grad vor einer ODE für das verallgemeinerte Maxwell Modell (Strukturmechanik) und versuche die Gleichungen nachzuvollziehen.

Die Ausgangs-ODE lautet ay'(t)+by(t)=k(t) mit Anfangswert y(0)=y0 und b=1.
Die triviale Lösung lässt sich durch k(t)=0 recht einfach über die e-Funktion berechnen:
y(t)=exp(-t/a)*y0+C(t). Allerdings weiss ich dann nicht, wie ich C(t) bestimmen kann.
In Wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integrator#cite_note-Exponential_integrators-3 gibt es ein sehr änhliches Verfahren, allerdings ist die Grundform der ODE ein wenig anderes, da dort a=1 ist b eine beliebige Zahl. Hier weiss ich nicht, wie ich auf das in Wikipedia aufgestellte Integral komme bzw. wie es für meine ODE ausssieht. Kann mir jemand weiterhelfen?

Besten Dank
Jules

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:12 Uhr, 14.09.2021

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Deine Begriffsbildungen bewegen sich etwas außerhalb des Standards: Was du mit "triviale" Lösung bezeichnest, nennt man gewöhnlich "homogene Lösung" bzw. genauer gesagt "Lösung der homogenen Gleichung".

Was du dann allerdings mit y(t)=exp(-t/a)y0+C(t) willst, verstehe ich nicht. Bei solchen Inhomogenen Linearen DGL geht man eigentlich so vor:

Lösung der homogenen Gleichung (hast du ja getan) und dann Variation der Konstanten, das ist dann aber y(t)=exp(-t/a)C(t) (also Produkt statt Summe mit dem C(t)). Dies eingesetzt in die inhomogene Original-DGL ay(t)+y(t)=k(t) ergibt sich

C(t)=k(t)exp(ta)

was man dann noch integrieren muss, um an C(t) zu gelangen.


Jules-333

Jules-333 aktiv_icon

14:32 Uhr, 14.09.2021

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Vielen Dank für die Aufklärung, ich bin mit den Begrifflichkeiten leider durcheinander gekommen.

Wenn ich dann y(t)=exp(−t/a)⋅C(t) und y'(t)=-1/a*exp(-t/a)*C'(t) in die ursprüngliche ODE einsetze, komme ich auf exp(-t/a)*(C(t)-C'(t))=k(t). Hier habe ich dann allerdings noch C'(t) und C(t) drin, in deinem Ergebnis ist allerdings nur C'(t) drin.

Was ist hier der Rechenschritt, der mir zum Ergebnis fehlt?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:37 Uhr, 14.09.2021

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Deine Ableitung ist falsch: Streng nach Produktegel gilt (exp(-ta)C(t))=-1aexp(-ta)C(t)+exp(-ta)C(t) .

Ich sehe gerade, ich hab tatsächlich noch einen Fehler drin, aber einen anderen: Tatsächlich bekommt man

C(t)=1ak(t)exp(ta).
Frage beantwortet
Jules-333

Jules-333 aktiv_icon

15:25 Uhr, 14.09.2021

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Oh, so ein Fehler ist ja peinlich, da hab ich einfach die Produktregel ignoriert...

Habs verstanden, herzlichen Dank!