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Lösung einer Exakten DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: exakt, exakte Dgl, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Lösungskurve

wauzi aktiv_icon

13:16 Uhr, 02.02.2020

Hallo ihr Lieben,

ich hab eine Frage zu einer Altklausuraufgabe an der ich gerade sitze. Es geht um exakte DGLs.

Geben ist die DGL

(x^{2} - 1) y d x + (y^{2} - 1) x d x = 0

für diese soll man nun alle Lösungskurven im Quadranten

{x > 0, y > 0}

in impliziter Form bestimmen.

Durch

' d x'

geteilt ergibt das

(x^{2} - 1) y + (y^{2} - 1) x \cdot y' = 0

.

Ich habe bereits herausgefunden, dass diese DGL nicht exakt ist. Konnte aber noch keinen integrierenden Faktor bestimmen um diese DGL zu lösen.

Ich hab dann versucht mit der Trennung der Variablen zu arbeiten und bin bis zu diesem Ergebnis gekommen:

\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = - \int \frac{x^{2} - 1}{x} d x

\Leftrightarrow \frac{y^{2}}{2} - ln (y) = - \frac{x^{2}}{2} + ln (x) + c

Ich schaffe es aber nicht die Gleichung nach

y

aufzulösen.

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen!

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

15:54 Uhr, 02.02.2020

Hallo,

die Gleichung wird durch Multiplikation mit dem Faktor

\frac{1}{x y}

exakt:

(x - \frac{1}{x}) d x + (y - \frac{1}{y}) d y = 0

Klar:

p

hängt nicht von

y

ab,

q

nicht von

x

, demnach ist die Integrabilitätsbedingung

\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial q}{\partial x} (= 0)

erfüllt.

Darauf bist du aber im Prinzip durch die Trennung der Variablen allein gekommen.

Eine Auflösung nach

y

ist laut Aufgabenstellung aber nicht nötig:
> [...] in impliziter Form bestimmen.

Die Lösungen sind dann

Φ (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (x) + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (y) \overset{!}{=} c

bzw.

x^{2} + y^{2} - 2 \ln (x y) = 2 c

.
In Polarkoordinaten wäre das

r^{2} - \ln (r^{2}) = 2 c

. Das ist sicher nicht elementar auflösbar.

Ich hoffe, es hilft dir.

Mfg Michael

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