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Lösung einer Gleichung in Polarkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Polar Gleichung

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23:32 Uhr, 11.12.2013

Hallo,

brauch Hilfe bei folgender Aufgabe:

Geben Sie alle Lösungen

z \in ℂ

der Gleichung

z^{4} = - 1 - i

in Polarkoordinatenstellung

r (cos (ρ) + i \cdot sin (ρ))

mit

0 \leq r

und

0 \leq ρ \leq 2 \cdot π

an.

Wie fange ich da überhaupt an ??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Rabanus aktiv_icon

00:12 Uhr, 12.12.2013

Hey,

Du fängst damit an

z_{0} = - 1 - i

in Polarkoordinaten darzustellen !

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00:20 Uhr, 12.12.2013

Argument ist

\frac{5}{4} \cdot π

. Wie geht das mit den Polarkoordinaten jetzt? Ist es diese Schreibweise:

1 e^{i} \cdot^{(\frac{5}{4} \cdot π + 2 \cdot k \cdot π)}

rundblick aktiv_icon

12:28 Uhr, 12.12.2013

.. fast richtig..

.. NUR

\to

der Betrag der Zahl

\to (- 1 - i)

ist doch NICHT

\to 1

oder?

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14:43 Uhr, 12.12.2013

Flüchtigkeitsfehler...|z|=

\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

rundblick aktiv_icon

14:47 Uhr, 12.12.2013

"Flüchtigkeit sfehler"
..da bist du aber lange Zeit "geflüchtet"..

ok ..
dann also jetzt weiter:

\to

wie sehen die vier Lösungen für

z

demnach nun aus

\to ...

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15:02 Uhr, 12.12.2013

Bin halt nicht

\frac{24}{7}

online

\sqrt{2} e^{i} \cdot^{(\frac{5}{4} \cdot π + 2 \cdot k \cdot π)}

z 0 = \sqrt{2} e^{\frac{5}{4} \cdot π \cdot i}

z 1 = \sqrt{2} e^{\frac{13}{4} \cdot π \cdot i}

z 2 = \sqrt{2} e^{\frac{21}{4} \cdot π \cdot i}

z 3 = \sqrt{2} e^{\frac{29}{4} \cdot π \cdot i}

z 4 = \sqrt{2} e^{\frac{37}{4} \cdot π \cdot i}

rundblick aktiv_icon

15:08 Uhr, 12.12.2013

habe ich es oben richtig gelesen?

\to

du sollst die Lösungen finden von :

z^{4} = - 1 - i

ja?

dann denk mal darüber nach, ob die eher zB so aussehen könnten ?

\to

z_{k} = \sqrt[8]{2} \cdot e^{\frac{(5 + 8 k) \cdot π \cdot i}{16}}

für

\to k = 0, 1, 2, 3

? warum .. oder warum nicht ?

⋆ ⋆

http//de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln

lies da zB mal die beiden Zeilen mit
"Zur Berechnung der n-ten Wurzeln der komplexen Zahl ...."

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15:14 Uhr, 12.12.2013

Stimmt, ich muss natürlich die vierte Wurzel ziehen.

\sqrt{2} e^{i} \cdot^{(\frac{5}{4} \cdot π + 2 \cdot k \cdot π)}

z 0 = \sqrt[8]{2} e^{\frac{5}{16} \cdot π \cdot i}

z 1 = \sqrt[8]{2} e^{\frac{13}{16} \cdot π \cdot i}

z 2 = \sqrt[8]{2} e^{\frac{21}{16} \cdot π \cdot i}

z 3 = \sqrt[8]{2} e^{\frac{29}{16} \cdot π \cdot i}

z 4 = \sqrt[8]{2} e^{\frac{37}{16} \cdot π \cdot i}

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15:20 Uhr, 12.12.2013

Wären die Polarkoordinaten dann

z . B

. für

z 0 = :

2^{\frac{1}{8}} (cos (5 \cdot \frac{π}{16}) + i \cdot sin (5 \cdot \frac{π}{16}))

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15:28 Uhr, 12.12.2013

Jein ..
genau genommen
sind die Polarkoordinaten von

z_{0} \to r = 2^{\frac{1}{8}}

und

\to φ_{0} = \frac{5}{16} π

und du hast oben bereits die (trigonometrische ) Polarformdarstellung von

z_{0}

notiert ..

nebenbei:
das richtige Setzen von Klammern ist dir dabei jedoch nicht so gut geglückt..

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15:31 Uhr, 12.12.2013

Achso..okay. Aber somit ist die Aufgabe ja gelöst, wenn ich nun analog zu

z 1, z 2, z 3,

und

z 4

die Polarkoordinatengleichung angebe?

Edit: Sind die Klammern jetzt richtig?

rundblick aktiv_icon

15:38 Uhr, 12.12.2013

"Edit: Sind die Klammern jetzt richtig?"

an sich sind Klammern immer richtig .. wenn zB gleich viele zugehen ) wie aufgemacht ( wurden

also ..zähl mal

__{_}__{_}__{_}_

ok .. sehe, du hast inzwischen nochmal verbessert

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15:50 Uhr, 12.12.2013

Danke für deine Hilfe rundblick!!!!!!:-)

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