Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lösung einer komplexen Gleichung

Lösung einer komplexen Gleichung

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Copex aktiv_icon

16:45 Uhr, 19.03.2018

Hallo,

ich brauche Hilfe, bzw. Tipps und Vorgehensweisen beim Lösen komplexer Gleichungen.

Die Gleichung, um die es geht, lautet:

(1 + 2 i) z + \frac{z}{1 + 2 i} - 2 - i = z_{q} - 2 i - 4

z =

a+bi und

z_{q}

=a-bi

Ich habe nun zwei Ansätze:
1. Den Bruch mit Hilfe der Quotientenregel auflösen oder
2.

(1 + 2 i)

zu multiplizieren und somit den Bruch "wegbekommen"

Ich verfolge den ersten Ansatz.

(1 + 2 i) z + \frac{z \cdot (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} - 2 - i = z_{q} - 2 i - 4

(1 + 2 i) z + \frac{z - 2 i z}{5} - 2 - i = z_{q} - 2 i - 4

Nun bin ich mir mit den Rechenregel nicht sicher. Ist es überhaupt erlaub, hier

\cdot 5

zu rechnen? Muss der Ausdruck "z-2i z" geklammert werden?

(1 + 2 i) z + (z - 2 i z) - 2 - i = 5 Z_{q} - 10 i - 20

Nun addiere ich den Ausdruck

(- 2 - i) :

(1 + 2 i) z + (z - 2 i z) = 5 Z_{q} - 10 i - 20 + (- 2 - i)

(1 + 2 i) z + (z - 2 i z) = 5 Z_{q} - 11 i - 22

subtrahieren von

5 Z_{q}

und weiteres auflösen:

z + 2 i z + z - 2 i z - 5 Z_{q} = - 11 i - 22

2 z - 5 Z_{q} = - 11 i - 22

2 (a + b i) - 5 (a - b i) = - 11 i - 22

2 a + 2 b i - 5 a + 5 b i = - 11 i - 22

- 3 a + 7 b i = - 11 i - 22

Ich vermute, dass ich bis hierhin schon einige Fehler drin habe, weshalb es sich nicht Lohnt (ist es überhaupt möglich?) hier noch weiter zu rechnen.

Ich bin für jede Hilfe dankbar, da mit die Termumformung mit komplexen Zahlen doch noch sehr viele Probleme bereitet.

Viele Grüße und Dank vorab,

CopeX

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

16:51 Uhr, 19.03.2018

(1 + 2 i) \cdot z + \frac{z}{1 + 2 i} - 2 - i = \bar{z} - 2 i - 4

" Ist es überhaupt erlaub, hier ⋅5 zu rechnen?"

\to

na klar - aber dann richtig:

\to j e d e n

Summanden auf der linken Seite

\to

mal

\to 5!!

Vorschlag:

ordne/vereinfache zuallererst die geg. Gleichung
.. zB zusammenfassen

\to

[(1 + 2 i) + \frac{1}{1 + 2 i}] \cdot z - \bar{z} = - 2 - i

\Rightarrow

(6 + 8 i) \cdot z - 5 \cdot \bar{z} = - 10 - 5 i

Atlantik aktiv_icon

17:01 Uhr, 19.03.2018

"2 .

(1 + 2 i)

zu multiplizieren und somit den Bruch "wegbekommen."

Der Weg müsste zielführend sein. Die Quotientenregel kenne ich

a)

beim Differenzieren und

b)

z . B . : \frac{a + b}{c + d} = \frac{a}{c + d} + \frac{b}{c + d}

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

17:16 Uhr, 19.03.2018

(1 + 2 i) \cdot z + \frac{z}{1 + 2 i} - 2 - i = \bar{z} - 2 i - 4

\Rightarrow

(6 + 8 i) \cdot z - 5 \cdot \bar{z} = - 10 - 5 i

. .

. .

\Rightarrow z = - 2 + i

nebenbei:

falls du nicht "zielführend" im Atlantik untergehen willst,
dann verzichte lieber auf die Hilfe der Quotientenregel
um "den Bruch aufzulösen"..
.

Copex aktiv_icon

09:07 Uhr, 20.03.2018

Danke für die schnellen und hilfreichen Antworten.

Frage an Rundblick:
Dein Weg ist für mich am ersichtlichsten, jedoch würde ich mich über die letzten Schritte deiner Rechnung sehr freuen.

Löst man deine "vorletzte" Zeile auf, erhält man

(6 + 8 i) z - 5 \cdot z_{q} = - 10 - 5 i

6 z + 8 z i - 5 z_{q} = - 10 - 5 i

Wie kommt bekommt man nun

z i

und

z_{q}

weg?

Setzt man

z =

a+bi und

z_{q} =

a-bi, so erhält man

6 a + 6 b i + 8 a i + 8 b i^{2} - (5 a - 5 b i) = - 10 - 5 i

6 a + 6 b i + 8 a i + 8 b i^{2} - 5 a + 5 b i = - 10 - 5 i

1 a + 11 b i + 8 a i + 8 b i^{2} = - 10 - 5 i

1 a + 11 b i + 8 a i - 8 b = - 10 - 5 i

Wie kann ich hier weiter machen um auf a+bi=.... zu kommen?
War es überhaupt der richtige ansatz, hier z=a+bi zu setzen?

Vielen Dank vorab,

Copex

Respon

09:26 Uhr, 20.03.2018

Das Prinzip ( ohne jetzt deine Rechnung auf Richtigkeit überprüft zu haben

) :

Vergleiche Realteil und Imaginärteil. Du bekommst also zwei Gleichungen für die reellen a und

b

.
Du bekommst dann

a = - 2

und

b = 1,

also

z = - 2 + i

. Und das ist die richtige Lösung deiner Ausgangsgleichung.

Copex aktiv_icon

09:58 Uhr, 20.03.2018

Hallo Respon,

kannst du mir das mit dem Vergleichen bitte etwas näher erläutern?
Wie kommst du auf

a = - 2

und

b = 1

?

Viele Grüße,

Copex

Respon

10:06 Uhr, 20.03.2018

z . B

. so ( ich gehe von deiner letzten Zeile aus ).

a + 11 \cdot b \cdot i + 8 \cdot a \cdot i - 8 \cdot b = - 10 - 5 \cdot i

| + 10 + 5 \cdot i

\Rightarrow

(a - 8 \cdot b + 10) + i \cdot (8 \cdot a + 11 \cdot b + 5) = 0

Eine komplexe Zahl ist dann

0,

wenn sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil 0 ist.

a - 8 \cdot b + 10 = 0

8 \cdot a + 11 \cdot b + 5 = 0

\Rightarrow a = ...

und

b = . .

Copex aktiv_icon

10:18 Uhr, 20.03.2018

Okay, jetzt hat es klick gemacht! Vielen Dank für die Hilfe!

1419617

1419551

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?