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Lösung für DGL zeigen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Ableitung, DGL, Integration

Corlette08 aktiv_icon

12:24 Uhr, 12.05.2013

Hallo, ich soll zeigen, dass folgende Funktion(1) die von folgender DGL(2) ist:

(1)

f (t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{- r \cdot t}}

K > 0;

a_{0} > 0;

A = \frac{K - a_{0}}{a_{0}}

(2)

f^{'} (x) = r \cdot f (x) \cdot (1 - \frac{f (x)}{K})

f (0) = a_{0}

Als Tipp wird gesagt, dass man nur zeigen soll, dass

f (x)

die DGL löst. Am einfachten sei die Verifikation: Man leitet die gegebene Funktion ab und setzt sie in die DGL ein.

Ich weiß nur nicht welche Funktion ich ableiten soll. Wenn ich

f (t)

ableite weiß ich nicht wie ich das in das DGL einsetzen soll, weil dort ja

f (x)

drin steht und nicht

f (t)

. Und wenn ich das DGL integrieren will um

f (x)

zu bekommen weiß ich nicht wie, denn ich weiß ja nicht wie

f (x)

aussieht...

Ich würde mich über Antworten sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Corlette08 aktiv_icon

12:40 Uhr, 12.05.2013

Also ich hab jetzt mal folgendes gerechnet:

f^{'} (x) = \frac{\partial f (x)}{\partial x}

\frac{\partial f (x)}{\partial x} = r \cdot f (x) \cdot (1 - \frac{f (x)}{K})

\frac{\partial f (x)}{\partial x} = r \cdot f (x) - \frac{r \cdot {f (x)}^{2}}{K} | : f (x) | : {f (x)}^{2} | \cdot d x

\frac{1}{{f (x)}^{3}} \partial f (x) = \frac{1}{K} \partial x

\int \frac{1}{{f (x)}^{3}} \partial f (x) = \int \frac{1}{K} \partial x

\frac{1}{2} {f (x)}^{- 2} = ln (K) | \cdot 2 | {()}^{2}

f (x) = 4 {ln (K)}^{2}

Das habe ich eingesetzt... weiß aber nicht inwiefern mir das hilft oder ob ich mich nicht verrechnet habe..

Loewe1

13:52 Uhr, 12.05.2013

Hallo

Schauh nochmal, ob es nicht in (1)statt f(t) f(x) heißen soll, Schreibfehler?

Ja das ist der Weg:

Als Tipp wird gesagt, dass man nur zeigen soll, dass f(x) die DGL löst. Am einfachten sei die Verifikation: Man leitet die gegebene Funktion ab und setzt sie in die DGL ein.

Das bedeutet, Du mußt f(x) wirlich einmal ableiten .
Dann brauchst Du das nur in die Gleichung einsetzen , denn f(x) ist ja gegeben .
Dann ist es eine Gleichung und Du mußt den rechten Ausdruck umformen , so das der mit dem linken Ausdruck übereinstimmt.

Das ist alles.

Corlette08 aktiv_icon

14:19 Uhr, 12.05.2013

Hallo,

es heißt wirklich

f (t)

.

Ich verstehe den letzten Absatz nicht ganz.

f (t)

ist gegeben und

f' (x)

(Also die erste Ableitung von

f (x))

ist gegeben.
Was genau soll ich jetzt davon ableiten?

f (x)

habe ich ja bereits berechnet (ist meine Rechnung da überhaupt richtig?).

LG

Yokozuna aktiv_icon

16:48 Uhr, 12.05.2013

Hallo,

zunächst mal ist es völlig egal, wie man die Variable in einer Funktion nennt. Du kannst also

z . B

f (t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{- r \cdot t}}

oder

f (x) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{- r \cdot x}}

schreiben, die Funktion bleibt immer die gleiche.

Du hast folgendes gegeben:
Eine Funktion (ich schreibe hier gleich mal

x

statt

t) :

(1)

f (x) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{- r \cdot x}}

und eine Differentialgleichung für die Funktion

f :

(2)

f' (x) = r \cdot f (x) \cdot (1 - \frac{f (x)}{K})

Nun soll gezeigt werden, daß die Funktion

(1)

eine Lösung der Differentialgleichung

(2)

ist. Dazu gibt es folgende zwei Möglichkeiten:
1. Du löst die Differentialgleichung

(2)

und stellst fest, ob die Lösung von

(2)

identisch mit der Funktion

(1)

ist.
2. Du setzt die Funktion

(1)

und ihre Ableitung

f' (x)

in die Differentialgleichung

(2)

ein und prüfst, ob die rechte und die linke Seite gleich ist.

Du hast in Deinem Nachtrag den Weg 1 versucht. Das Ergebnis ist leider völlig falsch. Schon die erste Umformung ist fehlerhaft. Wenn ich

z . B

\frac{d f (x)}{d x} = r \cdot f (x) \cdot (1 - \frac{f (x)}{K})

durch

f (x)

dividiere und mit

d x

multipliziere, erhalte ich

\frac{d f (x)}{f (x)} = r \cdot (1 - \frac{f (x)}{K})) \cdot d x

Das

r

auf der rechten Seite verschwindet also nicht.
Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine Bernoulli-Differentialgleichung, also eine nichtlineare Differentialgleichung und ich habe so meine Zweifel, ob ihr die Lösung solcher Differentialgleichungen im Unterricht durchgenommen habt.

Deshalb solltest Du, wie bereits in der Aufgabenstellung empfohlen, den 2. Weg gehen. Du hast die Funktion

f (x)

mit

(1)

gegeben. Von dieser Funktion bildest Du nun noch die 1. Ableitung

f' (x)

und dann setzt Du

f (x)

und

f' (x)

in die Differentialgleichung ein und schaust, ob (nach einigen Zusammenfassungen auf der rechten Seite) links und rechts das Gleiche steht. Also würde ich vorschlagen, daß Du das mal probierst. Dieser Weg ist auch sicher einfacher, als die Differentialgleichung zu lösen.

Viele Grüße
Yokozuna

Corlette08 aktiv_icon

18:10 Uhr, 12.05.2013

Also zunächst:

vielen Dank fpr die ausführliche Antwort.
Ich habe den 2. Weg gewählt, jedoch kam bei mir etwas merkwürdiges raus..

1. ich leite

f (t)

ab (bzw. ich benenne es nach

f (x)

um)

f' (x) = \frac{(K') \cdot (1 + A \cdot e^{- r \cdot x}) - (K) \cdot (1 + A \cdot e^{- r \cdot x})'}{{(1 + A \cdot e^{- r \cdot x})}^{2}}

A = \frac{K - a_{0}}{a_{0}}

f' (x) = \frac{0 - K (- r \cdot (\frac{K - a_{0}}{a_{0}}) \cdot e^{- r \cdot x})}{{(1 + (\frac{K - a_{0}}{a_{0}}) \cdot e^{- r \cdot x})}^{2}}

f' (x) = \frac{r \cdot (\frac{K^{2}}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x}}{{(1 + (\frac{K}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x})}^{2}}

(Ich glaube ich kann das nicht weiter kürzen...)

Dann setze ich das Ergebnis mit

(2)

gleich.

Ich hab jetzt nur noch Probleme mit dem Zusammenfassen:

\frac{r \cdot (\frac{K^{2}}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x}}{{(1 + (\frac{K}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x})}^{2}} = r \cdot (\frac{K}{(1 + (\frac{K}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x})}) \cdot (1 - (\frac{\frac{K}{(1 + (\frac{K}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x})}}{K}))

Ist zunächst meine Berechnung von

f' (x)

richtig?

Yokozuna aktiv_icon

18:46 Uhr, 12.05.2013

Bei der Berechnung von

f' (x)

hast Du im letzten Schritt beim Hineinmultiplizieren von

K

in die Klammer noch einen Fehler gemacht. Richtig müßte es lauten:

f' (x) = \frac{K \cdot r \cdot (\frac{K}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x}}{{(1 + (\frac{K}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x})}^{2}} = \frac{r \cdot (\frac{K^{2}}{a_{0}} - K) \cdot e^{- r \cdot x}}{{(1 + (\frac{K}{a_{0}} - 1) \cdot e^{- r \cdot x})}^{2}}

Es besteht allerdings kein Grund, A durch den wesentlich komplizierteren Ausdruck

\frac{K}{a_{0}} - 1

zu ersetzen. Ich würde das A einfach stehen lassen, dann wird alles etwas übersichtlicher, also:

f' (x) = \frac{r \cdot K \cdot A \cdot e^{- r \cdot x}}{{(1 + A \cdot e^{- r \cdot x})}^{2}}

Nach dem Einsetzen in die Differentialgleichung bekommst Du dann

\frac{r \cdot K \cdot A \cdot e^{- r \cdot x}}{{(1 + A \cdot e^{- r \cdot x})}^{2}} = r \cdot \frac{K}{1 + A \cdot e^{- r \cdot x}} \cdot (1 - \frac{\frac{K}{1 + A \cdot e^{- r \cdot x}}}{K})

Die nächste Aufgabe ist jetzt, in der rechten Klammer zuerst den doppelten Bruchstrich zu beseitigen (so daß nur noch ein einzelner Bruch dasteht) und dann alles in dieser Klammer auf einen gemeinsamen Bruchstrich zu schreiben

(d . h .,

auf den Hauptnenner bringen). Danach kann man die beiden Brüche auf der rechten Seite miteinander multiplizieren und ist dann fertig.

Viele Grüße
Yokozuna

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