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Lösung gleichung komplexe zahl (z^6+64=0)

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Gleichungen, Komplexe Zahlen

vincevega aktiv_icon

17:29 Uhr, 13.11.2012

Hi... ich habe eine aufgabe zu komplexen zahlen bekommen.
Da ich vorher noch nie mit komplexen zahlen zu tun gehabt habe, fehlt mir auch einfach der ansatz wie man so eine aufgabe berechnet.

Hier die aufgabe:

x^{6} + 64 = 0

Die frage zur aufgabe: lösen sie folgende gleichung über den komplexen zahlen

ich würde mich freuen, wenn man mir eventl erklären könnte wie ich grundsätzlich bei solch einer aufgabe vorgehen muss.

wie gesagt ich bin da noch nicht im thema.

rundblick aktiv_icon

17:44 Uhr, 13.11.2012

z^{6} + 64 = 0

zeichne in der GaussEbene einen Kreis um den Ursprung mit Radius

r = 2

markiere den Punkt

2 \cdot i = (0; 2)

und konstruiere dann im Kreis - beginnend bei

2 i -

das inbeschriebene regelmässige Sechseck.

Die Eckpunkte dieses Sechsecks sind die 6 Lösungen deiner Gleichung..

.. und falls du rechnerisch zu den Lösungen finden willst

\to

http//de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln

oder google mal

vincevega aktiv_icon

18:47 Uhr, 13.11.2012

mhh.... ich hab jetzt mal bei wiki mir das angeguckt.Muss allerdings sagen, dass ich oft die mathematik bei wiki nicht ganz verstehe.

ich hab verstanden, dass

z^{6}

die imaginäre zahl

(i)

ist und

64

die reele.
ich weiß auch das

i^{2} = - 1

ist.

mein ansatz ist jetzt:

i^{6} = - 64 . .

. so weit so gut(hoffentlich)

kann man jetzt sagen, dass

i^{6} = i^{5} \cdot i

(wobei ja

i^{5} = i

ist)
also:

= i \cdot i = - 1

ist das verständlich?

Dann hörts bei mir auch wieder auf

rundblick aktiv_icon

00:00 Uhr, 14.11.2012

"ich hab verstanden, dass

z 6

die imaginäre zahl

(i)

ist und

64

die reele."

..da hast du aber was kräftig miss-verstanden!

deine Aufgabe

: z^{6} = - 64

und dabei ist der Ansatz für

z =

x+iy .. oder in Polarform

z = r \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

\to z^{6} = r^{6} \cdot {(cos (φ) + i \cdot sin (φ))}^{6} = r^{6} \cdot (cos (6 \cdot φ) + i \cdot sin (6 \cdot φ))

und nun musst du

- 64

zuerst auch noch in Polarform notieren:

- 64 = 2^{6} \cdot (cos (

180°

+

k*360°)

+ i \cdot sin (

180°

+ k \cdot

360°

))

und damit sieht dann deine Aufgabe so aus:

r^{6} \cdot (cos (6 \cdot φ) + i \cdot sin (6 \cdot φ)) = 2^{6} \cdot (cos (

180°

+

k*360°)

+ i \cdot sin (

180°

+ k \cdot

360°

))

und durch Vergleich bekommst du dann

r = 2

und

φ =

30°

+ k \cdot

60°

...

. mit

k = 0,1,2,3,4,5 .

.

und so hast du dann die 6 Lösungen von

z^{6} = - 64

mit

z_{k} = 2 \cdot (

cos(30°

+ k \cdot

60°)

+ i \cdot

sin(30°

+ k \cdot

60°)

) . .

. mit

k = 0, ...,5, .

.

wenn du willst, kannst du diese Lösungen jetzt wieder in Normalformdarstellung umrechnen.

vincevega aktiv_icon

17:39 Uhr, 17.11.2012

Hi.. ich hatte die letzten tage leider keine zeit mehr deine Antwort anzugucken.
Dennoch wollt ich mich bei dir nochmals bedanken. mit deiner Antwort kann ich jetzt etwas mehr anfangen. Ich muss mich da einfach mal hintersetzen.

Danke und ein nettes WE

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