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Lösung per Karush Kuhn Tucker finden

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Sonstiges

Tags: Optimierung, Sonstig

Fisch18 aktiv_icon

17:22 Uhr, 01.06.2024

Ich habe folgendes nichtlineares Optimierungsproblem mit dem Karush Kuhn Tucker Verfahren zu lösen.

{min - x y + z : x + y + z^{2} \leq 2, x \geq 0, y \geq 0}

.
Eine Erklärung wie das KKT Verfahren funktioniert wäre dabei sehr hilfreich.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

18:32 Uhr, 01.06.2024

Hallo,

im Link ist das Vorgehen ganz gut erklärt.

statmath.wu.ac.at/courses/mvw_math/download/handouts/MVW-handouts-13-Kuhn-Tucker_Bedingung-2x4.pdf

Wenn noch Fragen auftauchen, gerne.

Gruß
pivot

Fisch18 aktiv_icon

21:27 Uhr, 01.06.2024

Danke für den Hinweis, nur eine Frage. Bei den Folien geht es um ein Maximum und daher müssten die KKT-Bedingungen für ein Minimum, wenn man Folie 13 anguckt,

\frac{δ L}{δ x_{j}} \geq 0

und

\frac{δ L}{δ λ_{i}} \leq 0

sein? Oder irre mich da?

pivot aktiv_icon

08:23 Uhr, 02.06.2024

Ich weiß jetzt nicht genau welche Stelle du meinst, bzw. wie du auf die Bedingungen kommst.

Ich würde um

f (x)

zu minimieren

- f (x)

maximieren.

Bei der Nebenbedingung gilt weiterhin

g (x) \geq 0

HAL9000

15:50 Uhr, 04.06.2024

Ohne KKT kann man das spezielle Optimierungsproblem hier so lösen: Für zulässige

x, y, z

liegen

x, y

im Dreieck

x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 2

, und es ist

∣ z ∣ \leq \sqrt{2 - x - y}

, mithin

z \geq - \sqrt{2 - x - y}

. Daher ist

- x y + z \geq - x y - \sqrt{2 - x - y} = \frac{{(x - y)}^{2}}{4} - \frac{{(x + y)}^{2}}{4} - \sqrt{2 - (x + y)}

Bei festem

t = \frac{x + y}{2}

wird der Term rechts minimiert für

x = y

, d.h., es ist

- x y + z \geq g (\frac{x + y}{2})

mit

g (t) := - t^{2} - \sqrt{2 - 2 t}

für

0 \leq t \leq 1

,

wobei Gleichheit für

x = y, z = - \sqrt{2 - 2 x}

erreicht wird. Die globale Minimierung von

g

ergibt ein Randminimum links, d.h.

g (t) \geq g (0) = - \sqrt{2}

, d.h. für das Originalproblem bekommen wir den Minimumwert

- \sqrt{2}

, erreichbar im Punkt

(x, y, z) = (0, 0, - \sqrt{2})

.

Das Ergebnis kann zumindest als Vergleich dienen zu deiner dann per KKT ermittelten Lösung.

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