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Lösung von Anfangswertproblem auf Intervall I

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Anfangswertproblem, Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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YamiTenshi

YamiTenshi aktiv_icon

21:23 Uhr, 08.05.2014

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Ich soll folgendes zeigen:

"Zeige, dass das Anfangswertproblem

y'(t)=y(t)⋅et2-16⋅cos(t5+4),y(1)=1

auf dem Intervall [-2,4] genau eine Lösung besitzt.

Ich habe den Ansatz:

p(t):=et2-16⋅cos(t5+4) und wollte es als homogene lineare DGL lösen, aber

das integral davon ist nicht mal mir Wolfram Alpha zu berechnen.

Könnt ihr mir helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

00:09 Uhr, 09.05.2014

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Du musst es nicht lösen, nur beweisen, dass die Lösung eindeutig ist.
Das geht über einen Satz über Existenz und Eindeutigkeit der Lösung, z.B. über diesen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f
YamiTenshi

YamiTenshi aktiv_icon

20:05 Uhr, 09.05.2014

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Aber wie? Ich meine ich hab nun Folgendes:

y'(t)=f(t,y(t)) und die Anfangsbedingung y(t0)=y(1)=1=y0(⇒t0=1)
hat genau eine Lösung auf y:[t0-a,t0+a]=[1-a,1+a]=[-2,4]→O
⇒a=3

Aber wie gehts weiter?

Ist y'(t)=f(t,y(t))=y(t)⋅e(t2)-16⋅cos((t5)+4) lipschitzstetig? Wie kann ich das zeigen, ich komm einfach net weiter...
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:10 Uhr, 09.05.2014

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Jede stetig differenzierbare Funktion ist Lipschitz-stetig auf einem geschlossenen Intervall. Und dass diese Funktion auf [-2,4] stetig differenzierbar ist, ist nicht schwer zu zeigen (bilde die Ableitung und prüfe, ob sie stetig ist).
YamiTenshi

YamiTenshi aktiv_icon

22:00 Uhr, 09.05.2014

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Ich hab einen anderen Ansatz, was denkst du darüber? stimmt der?

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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:16 Uhr, 10.05.2014

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Ja, direkt geht es auch. Du machst es aber etwas zu kompliziert.
In Wirklichkeit reicht so zu schreiben:
∣et2-16cos(t5+4)∣≤et2-16≤e0=1 für alle ∣t∣≤4,
deshalb gilt für f(t,y)=y⋅et2-16cos(t5+4):
∣f(t,y)-f(t,x)∣≤∣y-x∣ für alle t aus [-2,4], da [-2,4]⊂[-4,4].
Damit ist f(t,y) Lipschitz-stetig in der 2. Variable.
Frage beantwortet
YamiTenshi

YamiTenshi aktiv_icon

23:32 Uhr, 10.05.2014

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Danke!!