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Lösung von einer Gleichung

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Funktionalanalysis

Funktionen

Funktionentheorie

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie

ichundich aktiv_icon

10:10 Uhr, 19.04.2011

Hallo zusammen,
gegeben sei zwei reelwertige Größen

β > 0

und

d > 0

. Was ist der Zusammenhang zwischen

β

und

d

sodass die Folgende Gleichung gilt:

L i_{2} (e^{- 2 β d}) = 1 + L i_{2} (e^{2 β d})

Die

L i

Funktionen sind die Polylogarithmus Funktionen siehe:
http//de.wikipedia.org/wiki/Polylogarithmus
Vielen Dank schon im Voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

12:31 Uhr, 19.04.2011

Hallo
Ehrlich gesagt sagen mir Polylogarithmus-Funktionen nichts.

Aber vielleicht hilft dir ja das weiter - hoffentlich.

ichundich aktiv_icon

12:45 Uhr, 19.04.2011

Danke, dass du dir Gedanken darüber gemacht hast. Aber im Allgemein:

f (x_{1}) + f (x_{2}) \neq f (x_{1} + x_{2})

schon gar nicht wenn

f (x) = L i_{2} (x)

anonymous

13:27 Uhr, 19.04.2011

Ok,
wenn das Li2() als

f (x)

zu lesen ist, dann hast du natürlich recht.
Ich habe das offensichtlich als Li2

\cdot (...)

gelesen.

anonymous

12:10 Uhr, 26.04.2011

Hallo nochmals.
Ich habe mir die Polylogarithmus-Funktion jetzt mal näher angeschaut.
Um es einfacher zu machen, habe ich substituiert:
exp(2*beta*d)

= x

Dann gilt natürlich auch:
exp(-2*beta*d)

= 1 / x

Deine Gleichung wird somit zu:
Li_2(

1 / x) = 1 +

Li_2(x)
Die konnte ich numerisch lösen. Ich komme auf:

x = - 2.01556;

Fi_2(x)

= - 1.44528

1 / x = - 0.49614;

Fi_2(1//x)

= - 0.44528

Rücksubstitution auf

β \cdot d :

x =

exp(2*beta*d)

= - 2.01556

Exponentialfunktionen werden (im Reellen) niemals <NULL .

D . h

. obige Lösung ist keine reelle Lösung für dein Problem.

Ich habe mir daraufhin weiter Gedanken gemacht.
Für eine reelle Lösung müssten wir doch eine Lösung

x > 0

suchen.
Im Wikipedia steht: "Die Definition gilt für

[...] | z | < 1

. Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere

z

ausdehnen."
Ich habe für die Dilogarithmusfunktion und

x > 0

nur Werte bis

x \leq 1

gefunden.
Ich vermute dringend, dass die Dilogarithmusfunktion für

x > 1

komplex ist.
Begründung:

a)

Die Summenformel

(z

hoch

k) / k / k

divergiert.
Li_2(x>1) geht gegen Unendlich.

b)

Der Dilogarithmus kann auch analytisch dargestellt werden, als:
Li_2(x) = Integral

[ln (1 - t) / t \cdot d t]

Das Integral in den Grenzen

[x; 0]

Wähle ich

x > 1,

so wird das Logarithmus-Argument

< 0 .

D . h

. der

ln (1 - t)

hat keine reele Lösung.

c)

Ich verstehe die bunten Bildchen im Wikipedia zu den Polylogarithmen zwar nicht so ganz.
Beim Dilogarithmus sieht oder ahnt man aber schon eine Polstelle bei

x = 1 .

d)

Die Ableitung der Dilogarithmusfunktion ist:

d {

Li_2(z)

} / d z = - ln (1 - z) / z

D . h

. für

z = 1

wird die Ableitung Unendlich.

Wenn sich jemand mit der Dilogarithmusfunktion bei

x > 1

besser auskennt, hier wäre Platz…

Zurück zu Lösungen bei

x > 0

für deine Gleichung:
Li_2(

1 / x) = 1 +

Li_2(x)
Fallunterscheidung:

e) x < 1

Dann ist

1 / x

größer als Null, also die linke Seite der Gleichung komplex.

f) x > 1

Dann ist die rechte Seite der Gleichung komplex.

Ergo: Wenn meine These stimmt, dann besitzt deine Gleichung keine reelle Lösung.

anonymous

12:11 Uhr, 26.04.2011

Ach Gott - ich vergaß:

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