Lösungen eines homogenen Gleichungssystems

Hallo,

Ich Habe folgende Übungsaufgabe:

Gegeben ist die Matrix A = $$\begin{gathered} {\displaystyle (\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ -1& -1& 5\\ \begin{array}{c}8\\ 3\end{array}& \begin{array}{c}5\\ 4\end{array}& \begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\end{array}\begin{array}{c}5\\ -2\\ \begin{array}{c}15\\ 2\end{array}\end{array}) \\ } \end{gathered}$$

a) Bestimmen Sie alle Lösungen des zugehörigen homogenen linearen Gleichungsystems.
b) Für welche Werte a 2 element R ist das Gleichungssystem Ax = ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$,

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ = ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-3\\ -13\\ \begin{array}{c}0\\ \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\end{array}\right)}$ lösbar?

c) Sei ${\displaystyle \widetilde{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ = (A; b) die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems aus b). Welche Dimension hat der Lösungsraum des homogen Gleichunssystems zu der Matrix ${\displaystyle \widetilde{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ? Geben Sie eine Basis an.

Meine Frage lautet, ob ich a) richtig gelöst habe.

Ich habe zuerst über den Gauß die Zeilenstufenform bestimmt: ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1& 0& \begin{array}{cc}-2& 5\end{array}\\ 0& 1& \begin{array}{cc}-3& -3\end{array}\\ \begin{array}{c}0\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}0\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{cc}1& \frac{5}{17}\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& 1\end{array}\end{array}\end{array}\right]}$

Dadurch erhalte ich ${\displaystyle \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\{\begin{array}{c}2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3-5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_4\\ 3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3+3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_4\\ \begin{array}{c}\frac{5}{17}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_4\\ 0\end{array}\end{array}\parallel {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_4\in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\}}$.

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_4}$ setze ich = t (da es variabel ist)

Dann ist meine Lösung des Gleichungssystems: ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-4\frac{7}{17}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\frac{15}{17}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \begin{array}{c}\frac{5}{17}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\end{array}\right)}$ .

Der Lösungsweg erscheint mir richtig , aber bei der Endlösung bin ich mir nicht sicher. Ist sie korrekt?

Gruß,

Laxel