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Lösungsansatz 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten

Universität / Fachhochschule

Tags: Gleichungen, Matrix

Binary aktiv_icon

13:22 Uhr, 28.09.2008

Hallo zusammen,

ich solle folgende Aufgabe Lösen:

Man bestimme alle L¨osungen des linearen Gleichungssystems

3 x 1 + 6 x 2 + x 3 + 17 x 4 + 25 x 5 = 33

2 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 13 x 4 + 19 x 5 = 25

x 1 + 2 x 2 + x 3 + 9 x 4 + 13 x 5 = 17

Habe letztens 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten durch das bringen der Matrix in die Dreiecksform gelöst.
Hier funktionier dies jedoch nicht, da dann am Ende ja 3 immer noch 3 unbekannte in der letzten Zeile Übrig bleiben.

Hat jemand eine Idee?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

MBler07 aktiv_icon

18:13 Uhr, 28.09.2008

Hi

Dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt. Du kannst aslo keine eindeutigen Lösungen berechnen.
Da es 5 Unbekannte in 3 Gleichungen sind, hast du 2 Freiheitsgerade. Du kannst aslo zwei Werte selbst bestimmen, von dennen die anderen 3 dann abhängig sind. Die Lösung sieht dann in etwa so aus:

x_{1} = a + b \cdot x_{4} + c \cdot x_{5}

x_{2} = d + e \cdot x_{4} + f \cdot x_{5}

x_{3} = g + h \cdot x_{4} + i \cdot x_{5}

Üblicherweise setzt man für

x_{4}

und

x_{5}

andere Variablen.

z . B

s

und

t

.

Grüße

Aleph aktiv_icon

18:44 Uhr, 28.09.2008

Hier also die Lösung:

Setze $x_{4} = μ$ und $x_{5} = λ$ .

Dann folgt:

$3 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} + x_{3} = 33 - 17 \cdot μ - 25 \cdot λ \overset{s u b s t i t u i e r e}{=} b_{1}$

$2 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{2} + x_{3} = 25 - 13 \cdot μ - 19 \cdot λ \overset{s u b s t i t u i e r e}{=} b_{2}$

$1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 17 - 9 \cdot μ - 13 \cdot λ \overset{s u b s t i t u i e r e}{=} b_{3}$

Erweiterte Koeffizientenmatrix:

$(\begin{matrix} 3 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} \\ b_{3} \end{matrix})$

Zeilenumformung:

Aus:

$Z e i l e 2 + (- \frac{2}{3}) \cdot Z e i l e 1$

$Z e i l e 3 + (- \frac{1}{3}) \cdot Z e i l e 1$

und

$Z e i l e 3 + (- 2) \cdot Z e i l e 2$

folgt:

$(\begin{matrix} 3 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} - \frac{2}{3} \cdot b_{1} \end{matrix} \\ b_{1} - 2 \cdot b_{2} + b_{3} \overset{!}{=} 0 \end{matrix})$

Das lineare Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn die Bedingung $\begin{matrix} b_{1} - 2 \cdot b_{2} + b_{3} = 0 \end{matrix}$ erfüllt ist. Einsetzen: .... ist erfüllt!

Setze $x_{2} = κ$ , dann folgt nach dem Einsetzen und Ausrechnen:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ x_{3} \end{matrix} \\ x_{4} \end{matrix} \\ x_{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 8 - 4 \cdot μ - 6 \cdot λ - 2 \cdot κ \\ κ \end{matrix} \\ 9 - 5 \cdot μ - 7 \cdot λ \end{matrix} \\ μ \end{matrix} \\ λ \end{matrix})$

Also lautet die Lösungsmenge:

$L ö s (A | b) = {(\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix} \\ 9 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - 4 \\ 0 \end{matrix} \\ - 5 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - 6 \\ 0 \end{matrix} \\ - 7 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) + κ \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) | μ, λ, κ \in R}$

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