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Lösungsansatz für eine mehrdimensionale Gleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Gleichungen, höherer Ordnung, Lösungsansatz, Mehrdimensional

GustavGans aktiv_icon

11:13 Uhr, 17.08.2014

Hallo,

ich bin sehr dankbar für jede Hilfe.

Ich benötige einen Lösungsansatz für eine mehrdimensionale Gleichung höherer Ordnung und komme nicht weiter (Lösungsansätze für eindimensionale Gleichungen sind mir klar).

1. Wie würde ich solche Lösungsansätze entwickeln?
2. Ein Beispiel für eine 6-dimensionale Gleichung 4. Ordnung wäre toll.
3. Mit welchem Programm (Matlab,

R,

Python,

. .)

wäre eine automatische Berechnung ("in einem Programm) bei ausreichend vorliegenden Lösungen "einfach" umzusetzen?

Schon einmal vielen Dank!

GG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

22:22 Uhr, 17.08.2014

Eine Gleichung 4.Ordnung ist bereits eindimensional algebraisch nur schwer zu bändigen.

Mehrdimensional ist das wohl eine Beschäftigung für Nerd-Mathematiker, aber praktisch nicht wirklich brauchbar. Da wird man sich wohl eines Iterations-Algorithmus anvertrauen, um zum Ziel zu kommen.

GustavGans aktiv_icon

22:53 Uhr, 17.08.2014

Gilt das auch wenn mir bereits Lösungen bekannt sind?
Wenn ja, wie würde ich mich an eine Näherung ran tasten?

Yokozuna aktiv_icon

23:28 Uhr, 17.08.2014

Hallo,

es wäre sehr hilfreich, wenn Du erst mal präziser sagen würdest, was denn eigentlich das Problem ist.

"Ich benötige einen Lösungsansatz für eine mehrdimensionale Gleichung höherer Ordnung"

Einen Lösungsansatz wofür? Willst Du

z . B

. Nullstellen berechnen?
Was verstehst Du unter mehrdimensional? Etwa eine Gleichung mit mehreren Variablen?

Der Begriff Ordnung kommt

z . B

. bei Differentialgleichungen vor. Geht es um Differentialgleichungen oder vielleicht doch eher um Polynomgleichungen? Im letzteren Fall würde man vom Grad sprechen und nicht von der Ordnung.

Im Punkt 3 sprichst Du von "ausreichend vorliegenden Lösungen". Da fragt man sich, wozu Du noch Lösungsansätze brauchst, wenn Du schon Lösungen hast.

Also ein bischen mehr Erklärung zu Deiner Fragestellung wäre nicht schlecht.

Viele Grüße
Yokozuna

GustavGans aktiv_icon

16:02 Uhr, 18.08.2014

...

. ja entschuldigt

. .

. habe noch mal etwas darüber nachgedacht

. .

. ist wirklich schlecht beschrieben.

Ich will einen Prozess beschreiben der durch 6 (wahrscheinlich unabhängige) Variablen bestimmt wird

\to

also

f (x, y, z, ...)

Da ich Ist-Zustände beobachten kann, würde ich eine Tabelle aufstellen und dort mehrfach den Wert der Variablen und das jeweilige Ergebnis auflisten.
Darüber will ich eine Lösungsformel bzw. Näherung entwickeln.

Meine Vermutung ist, dass ich den Einfluss jeder Variablen auf das Ergebnis über eine Funktion 4. Grades (hab es gelernt) beschreiben kann, um diese dann in einer "Gesamtfunktion" zu vereinen. Wenn es eine besseren Lösungsansatz gibt würde ich mich sehr freuen.

In einer Programmiersprache würde ich diese Näherung/ Lösungsformel versuchen so umzusetzen, das ich bei Eingabe weiterer Ist-Zustände in die Tabelle die Näherung weiter optimieren kann.

Vielen Dank!

pleindespoir aktiv_icon

17:48 Uhr, 18.08.2014

Das wäre die allgemeine Formel:

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}) = a x_{1}^{4} + b x_{1}^{3} + c x_{1}^{2} + d x_{1} + e x_{2}^{4} + f x_{2}^{3} + g x_{2}^{2} + h x_{2} + j x_{3}^{4} + k x_{3}^{3} + l x_{3}^{2} + m x_{3} + n x_{4}^{4} + o x_{4}^{3} + p x_{4}^{2} + q x_{4} + r x_{5}^{4} + s x_{5}^{3} + t x_{5}^{2} + u x_{5} + v x_{6}^{4} + w x_{6}^{3} + z x_{6}^{2} + β x_{6} + γ

Wenn Du 25 Werte-Tupel vorliegen hast, kann man die Koeffizienten sogar genau bestimmen.

GustavGans aktiv_icon

07:53 Uhr, 19.08.2014

Ja super, vielen Danke! Damit kann ich ja schon jetzt einfach den Verlauf testen!

Hat vielleicht jemand zum 2. Teil meiner Frage noch eine Idee?

Yokozuna aktiv_icon

10:56 Uhr, 19.08.2014

Hallo,

ich möchte noch einige Dinge zu bedenken geben:

1. Betrachten wir mal den Vorschlag von pleindespoir. Wir sehen uns das Verhalten
der Funktion mal

z . B

. nur in

x_{1}

-Richtung an und setzen für die restlichen
Variablen

x_{2}

bis

x_{6}

feste Werte ein, dann sieht die Funktion so aus:

f (x_{1}) = a \cdot x_{1}^{4} + b \cdot x_{1}^{3} + c \cdot x_{1}^{2} + d \cdot x_{1} + C

Das

C

ist der Wert aller restlichen Terme, die nicht

x_{1}

enthalten. Nehmen wir für
die Variablen

x_{2}

bis

x_{6}

andere Werte, ändert sich der Wert von C. Die Funktion

f (x_{1})

sieht dann immer noch gleich aus und ist nur um einen konstanten Betrag
verschoben und das gilt für jeden anderen Datenpunkt.
Vielleicht verhält sich ja Deine Punktwolke so, dann wäre das der richtige Ansatz.
Ansonsten müsste man einen allgemeineren Ansatz machen,

z . B

. (ich mache das mal nur
für zwei Variablen):

f (x, y) = a_{0} \cdot x^{4} + a_{1} \cdot x^{3} \cdot y + a_{2} \cdot x^{2} \cdot y^{2} + a_{3} \cdot x \cdot y^{3} + a_{4} \cdot y^{4} +

a_{5} \cdot x^{3} + a_{6} \cdot x^{2} \cdot y + a_{7} \cdot x \cdot y^{2} + a_{8} \cdot y^{3} +

a_{9} \cdot x^{2} + a_{10} \cdot x \cdot y + a_{11} \cdot y^{2} +

a_{12} \cdot x + a_{13} \cdot y +

a_{14}

Wir haben jetzt bei zwei Variablen bereits

15

Terme. Bei 6 Variablen sind das um einige mehr.
Du brauchst dann immer mindestens so viele Datenpunkte, wie der Ansatz
Koeffizienten hat. Angenommen, der Ansatz hat

n

Koeffizienten. Wenn Du

n

Datenpunkte hast, dann musst Du ein lineares Gleichungssystem mit

n

Variablen
lösen. Hast Du mehr als

n

Datenpunkte, dann ist das Gleichungssystem überbestimmt
und man löst dann das Gleichungssystem

z . B

. mit der Methode der kleinsten Quadrate
(damit könnte man dann auch neu hinzugekommene Datenpunkte berücksichtigen).

2. In der Regel sind Polynome höheren Grades nicht sehr gut für Interpolation
geeignet, denn sie neigen sehr stark zum "oszillieren" und liefern deshalb nur sehr
schlechte Zwischenwerte. Deshalb werden statt dessen häufig kubische Splines
verwendet, mit denen man deutlich bessere Interpolationsergebnisse erzielen kann.
Aber ich denke, die kommen hier auch nicht in Frage und zwar aus zwei Gründen:

a)

Man bräuchte eine einigermaßen gleichmäßiges Punktegitter (ich weiß nicht, ob das bei Dir der Fall ist).

b)

Wenn man nach "mehrdimensionale Splines" googelt, kriegt man zwar eine Menge
Treffer, aber in der Regel beschränkt man sich in diesen Artikeln immer auf
zweidimensionale Splines und die sind schon kompliziert genug. Sechsdimensional
Splines habe ich bis jetzt noch nicht gesehen (was ja nicht heißt, dass es sowas
vielleicht nicht doch gibt, aber eher unwahrscheinlich).

3. Wenn es Dir nur darauf ankommt, Zwischenwerte zu berechnen, gibt es eine sehr
einfache und relativ gute Methode, das gewichtete Mittel. Nehmen wir an Du hast an

n

Punkten Funktionswerte gegeben, also

f_{i} = f (\vec{x_{i}}), i = 1, ..., n

wobei die

\vec{x_{i}}

6-dimensionale Vektoren sind. Wir wollen jetzt den Funktionswert
für irgendeinen Vektor

\vec{x}

berechnen. Ist der Vektor

\vec{x}

identisch mit einem der gegebenen Punkte

\vec{x_{i}},

dann nehmen wir den bekannten Funktionswert, also

f (\vec{x}) = f_{i}

. Andernfalls nehmen wir

f (\vec{x}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{r_{i}^{α}} \cdot f_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{r_{i}^{α}}}

wobei

r_{i}

der Abstand des Punktes

\vec{x}

vom Punkt

\vec{x_{i}}

ist, also

r_{i} = | \vec{x} - \vec{x_{i}} |

.
In der Regel wird

α = 1

genommen. Größere Werte von

α

führen zu einem rascheren Abfall der Gewichte mit zunehmenden Abstand.
Funktionswerte für Punkte, die in der Nähe von

\vec{x}

liegen, erhalten auf diese
Weise ein großes Gewicht, weiter entfernt liegende Punkte ein entsprechend kleineres Gewicht.
Manchmal werden auch nur solche Punkte in die Mittelwertsbildung einbezogen, die
nicht weiter entfernt sind, als eine vorgegebene Maximalentfernung. Wenn das
Punktegitter an manchen Stellen nicht sehr dicht ist, kann es dann allerdings sein,
dass man innerhalb der Maximalentfernung keine vorgegebenen Datenpunkte findet.
Dann muss man die Maximalentfernung vergrößern oder doch einfach gleich alle
Datenpunkte nehmen.
Bei der Methode der gewichteten Mittelwertbildung ist es sehr einfach, neue Datenpunkt hinzu zu nehmen.
Wenn es aber notwendig ist, dass Du eine konkrete Funktion als Endergebnis brauchst, dann kommt diese Methode nicht in Betracht.

4. Letztendlich kann man sich noch die Frage stellen, ob Dein Ansatz mit Polynomen
4. Grades und 6 Variablen Deinem Problem angemessen ist. Wie bist Du auf diesen
Ansatz gekommen? Vielleicht gibt es ja andere, einfachere Ansätze für Dein Problem.
Vielleicht kannst Du uns ja auch mal verraten, was genau der Hintergrund für dieses
Problem ist und um was es eigentlich geht (was misst Du da usw.), außer es ist eine
Arbeit für die NSA oder den BND, dann muss es natürlich geheim bleiben.

Viele Grüße
Yokozuna

GustavGans aktiv_icon

13:54 Uhr, 19.08.2014

. .

. ja das bringt mich weiter

. .

. vielen vielen Dank! Muss zwar noch ein bischen darüber nachdenken und nachschlagen aber das hört sich nach dem an was ich suche. Ansonsten frage ich nochmal nach ;-).

Im Endeffekt ist das für den Betrieb eines Durchgangsofens

. .

. Volumenstrom, Massenstrom, Verdunstungsentalphie,

. .

.

Es wurde für sehr viel Geld ein Modellrechner besorgt der den Namen alles andere als verdient hat. Der "Erfinder" war der Meinung, dass die Betrachtung der physikalischen Gegebenheiten ausreichend ist und man mit festen Korrekturfaktoren alles erschalgen kann

. .

. also einmal eingestellt

\to

nie wieder etwas veränderbar.
Wenn ich könnte würde ich diese Modell überarbeiten jedoch ist das "closed source".

Mit Polynomen 4-Grades habe ich bis jetzt für die kleinen Sachen die ich gemacht habe fast alles erschlagen können

...

. oft reichen auch Polynome 3-Grades

. .

. für solche stetigen Vorgänge

. .

. aber bisher immer eindimensional.

Nochmals vielen Dank!!! Hoffe das ich mich mal irgendwie hier revanchieren kann.

Yokozuna aktiv_icon

14:21 Uhr, 19.08.2014

Ich bin in der glücklichen Lage, dass ich mich nur noch um Probleme kümmern muss, die ich mir selbst mache. Und wenn da halt gerade keine sind, kümmere ich mich gern auch um die (mathematischen) Probleme anderer und der schönste Lohn ist, wenn man jemand helfen konnte. Also falls es da noch was gibt, dann schau ich mir das gerne an.

Viele Grüße
Yokozuna

pleindespoir aktiv_icon

21:17 Uhr, 19.08.2014

Da habe ich ja tatsächlich viel zuwenig Möglichkeiten in meinem allgemeinen Ansatz berücksichtigt ... naja er war auch nicht wirklich so richtig ernst gemeint.

Am besten versucht man sich die Zusammenhänge erstmal graphisch darzustellen anhand der gewonnenen Messwerte. Bei 6 Eingangsvariablen kann man dann schon mal einige dreidimensionale Graphen zeichnen, bei denen jeweils 4 Variablen als Parameter konstant gehalten werden müssten, zwei variabel sind und der Ausgangswert die dritte Dimension darstellt.

Vielleicht zeigt sich bei einigen Eingangswerten eine ziemlich lineare Funktion, die man technisch als solche annehmen könnte. Vielleicht auch eine Kurvenform, die sich mit anderen einfachen Funktionen darstellen lässt und dadurch sogar eine höhere Genauigkeit erreichen lässt, als mit den rechenzeitintensiven n-fach-Polynomansätzen.

Möglicherweise sind einige der Eingangswerte nicht unabhängig oder sogar ziemlich proportional im Realbetrieb, wodurch man sich eine Dimension sparen könnte.

Einige Eingangswerte sind möglicherweise im technisch sinnvollen Betrieb gar nicht sooo weit veränderbar, so dass ihr Einfluss vernachlässigt werden kann.

Das sind alles Vorarbeiten, die nötig sind, um eine effektive mathematische Modellierung zu planen.

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