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Lösungsintervalle/Ungleichungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Intervall, Ungleichung lösen

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18:35 Uhr, 13.08.2019

Hallo, könnte mir mal jemand erklären wie man von

\frac{1}{x} < \frac{1}{\sqrt{x}}

zu der Lösungsmenge L=(1;∞)

vielen dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

michaL aktiv_icon

18:40 Uhr, 13.08.2019

Hallo,

zunächst legt

\frac{1}{x} < \frac{1}{\sqrt{x}}

ja schon fest, dass

x \in ℝ_{> 0}

gelten muss, da für

x < 0

die Wurzel und für

x = 0

der Kehrwert nicht definiert sind.

Damit ist klar, dass das Multiplizieren mit

x

eine Äquivalenzumformung ist, die das Relationszeichen NICHT umkehrt. Dann verwendest du, dass

\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x

(für

x \geq 0

) gilt.

Mfg Michael

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18:53 Uhr, 13.08.2019

Hier zu der Lösung, die ich nicht richtig verstehe.

Die Definitionsmenge der zweiten Ungleichung ist

]

0;∞[, da nur für diese

x

sowohl die Wurzel wie auch die Nenner zulässig sind. Das Bilden der Kehrwerte und Umdrehen der Ungleichung ist auf der Definitionsmenge erlaubt und ergibt

x > \sqrt{x}

. Da

\sqrt{x} > 0

ist, darf man die gesamte Ungleichung durch

\sqrt{x}

teilen und erhält

\sqrt{x} > 1

. Diese Ungleichung besitzt die Lösungsmenge L=

]

1;∞[, die auch in der Definitionsmenge enthalten ist.

Da

\sqrt{x} > 0

ist darf man also die die gesamte Ungleichung durch

\sqrt{x}

teilen??

also

\frac{x > \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

Atlantik aktiv_icon

19:23 Uhr, 13.08.2019

Alternativer Beweis:

\frac{1}{x} < \frac{1}{\sqrt{x}} |^{2},

wobei

x > 0

ist.

\frac{1}{x^{2}} < \frac{1}{x} | \cdot x^{2}

1 < x \to L = (1; \infty)

... ... ... ... .

.

Ungleichung durch

\sqrt{x}

\frac{1}{x} < \frac{1}{\sqrt{x}} | : \sqrt{x}

\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{x}} < \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

\frac{1}{x \cdot \sqrt{x}} < \frac{1}{x} |^{2}

\frac{1}{x^{3}} < \frac{1}{x^{2}} | \cdot x^{3}

1 < x

In meinen Augen ist das ja jetzt ein längerer Weg, der aber auch zur Lösung führt.

mfG

Atlantik

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20:33 Uhr, 13.08.2019

Danke!

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