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Lösungsmenge einer Ungleichung

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Tags: Ungleichungen/Fallunterscheidung

Lara-2105 aktiv_icon

11:29 Uhr, 14.06.2023

Guten Tag, ich stehe etwas auf dem Schlauch. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

12:50 Uhr, 14.06.2023

Hallo
vielleicht hilft eine Zeichnung am besten! 1. Nullstellen der Fkt im Betrag bestimmen um den Betrag aufzulösen, dann in den Bereichen mit

y = 2

schneiden

KL700 aktiv_icon

13:08 Uhr, 14.06.2023

a)Du kannst faktorisieren:

3 (x^{2} - 8 x + 15) = 3 (x - 5) (x - 3)

1) (x - 5) (x - 3) \geq 0,

Betrag kann wegfallen

2) (x - 5) (x - 3) < 0 \to - 3 ((x - 5) (x - 3)

b)

1 . x < - \frac{18}{7}

- \frac{18}{7} \leq x < - 2

x ≻ 2

rundblick aktiv_icon

16:09 Uhr, 15.06.2023

a) | 3 x^{2} - 24 x + 45 | \leq 2

b) | x + 2 | < | 7 x + 18 |

@ KL700 :

kann es sein, dass du gar nicht geschaut hast, welche Aufgaben Lara-2105 im nächsten
Jahrhundert lösen möchte?

Versuche doch nochmal: richtige Lösungen für

b)

zu finden ..
könnte es zB. sein, dass alle

x

im Intervall

(- \infty; - \frac{8}{3})

die Ungleichung erfüllen?
und wie könnte das zweite Lösungsintervall aussehen?

und zu

a)

hat ledum (mit wundersamer Beschriftung) doch schon einen guten Vorschlag gemacht:
berechne

x_{A}, x_{C}, x_{D}

und

x_{E} .

. (meinst du, dass dazu deine Faktorisierung hilfreich sei?)
du hast dann die beiden Lösungsintervalle

[x_{A}, x_{C}]

und

[x_{D}, x_{E}]

ok?
.

HAL9000

16:30 Uhr, 15.06.2023

Zu a) Quadriert (darf man hier machen, da beide Ungleichungsseiten

\geq 0

sind) ist diese Ungleichung äquivalent zu

{(3 x^{2} - 24 x + 45)}^{2} \leq 2^{2}

0 \geq {(3 x^{2} - 24 x + 45)}^{2} - 2^{2} = (3 x^{2} - 24 x + 47) (3 x^{2} - 24 x + 43)

(letzteres nach Dritter Binomischer Formel). Als Gleichung betrachtet hat man hier nun vier reelle Lösungen, aufsteigend geordnet

x_{A} < x_{C} < x_{D} < x_{E}

(wenn ich mal die Bezeichnungen von ledum und rundblick übernehme). Man kann sich dann überlegen, dass daraus die Lösungsmenge

L = [x_{A}, x_{C}] \cup [x_{D}, x_{E}]

der zugehörigen Ungleichung folgt.

Bei b) würde ich ähnlich vorgehen: Äquivalente Umformungen ergeben

{(x + 2)}^{2} < {(7 x + 18)}^{2}

0 < {(7 x + 18)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = (7 x + 18 + (x + 2)) (7 x + 18 - (x + 2))

0 < (8 x + 20) (6 x + 16) = 48 (x + \frac{5}{2}) (x + \frac{8}{3})

rundblick aktiv_icon

17:12 Uhr, 15.06.2023

.
"Bei

b)

würde ich ähnlich vorgehen"

nun ja - hier

\to b) | x + 2 | < | 7 x + 18 | . .

. ist doch eh offensichtlich , dass die Ungleichung
schon mal für alle positven

x . . (x \geq 0) .

. erfüllt ist?
(Tipp: lass dir notfalls

y = | x + 2 |

und

y = | 7 x + 18 |

zeichnen)

also bleiben negative x-Werte zu untersuchen
dh die beiden Ungleichungen

\to

- x - 2 < - 7 x - 18 ... .

\Rightarrow x < - \frac{8}{3} . .

\Rightarrow x \in (- \infty, - \frac{8}{3})

und

- x - 2 < 7 x + 18 ... .

\Rightarrow x > - \frac{5}{2} ...

\Rightarrow x \in (- \frac{5}{2}, + \infty)

HAL9000

17:19 Uhr, 15.06.2023

> ist doch eh offensichtlich , dass die Ungleichung schon mal für alle positven x..(x=0).. erfüllt ist?

Warum soll ich einen Fall extra untersuchen, der am Ende eh mit abfällt? Da ziehe ich doch lieber einen Weg ganz ohne Fallunterscheidung durch: Dem am Ende stehenden Produkt zweier Linearfaktoren ist direkt die Lösungsmenge

L = (- \infty, - \frac{8}{3}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)

ablesbar.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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