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Lösungsmenge eines LGS

Universität / Fachhochschule

Tags: LGS, Lineare Algebra, Lösungsmenge

-Lizzy- aktiv_icon

22:55 Uhr, 18.06.2019

Hallo,

Ich habe schwierigkeiten bei der folgenden Aufgabe

- \to

Siehe Anhang

Die Umformungen sind klar und ich komme auch auf

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - a & 1 - a \end{matrix})

.

Dann mache ich weiter:

1. Fall:

a = 1

\Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

und berechne die Lösungsmenge ganz "klassisch" folgendermaßen:

x_{3} = t, x_{2} = 0, x_{1} + 0 + t = 1 \Rightarrow x_{1} = 1 - t

\Rightarrow L_{1} = {(1 - t,0, t)}

und gut, das könnte man umformen zu der Lösungsmenge, die in der Lösung angegeben wird:

L_{1} = {(1, 0, 0) + t \cdot (- 1,0,1)}

1. Frage: Warum wird das so angegeben? Nur wegen dem Rechenweg davor, oder hat das einen anderen Grund?

2. Frage: Ich verstehe nicht, was hier in der Lösung gemacht wird. Ich kenne zwar dieses Verfahren (hat das eigentlich einen Namen?), aber ich verstehe es nicht. Also vielleicht könnte mir das jemand erklären? Warum

r = 2, j_{1} = 1, j_{2} = 2

ist klar, genauso

S = {1, 2, 3,

}

\{1,2}

= {3, 4}

. Aber wie komme ich dann auf die Lösungsmenge. Ich konzentriere mich auf Spalte 3 und

4,

aber warum kann ich 4 ablesen und wie komme ich von Spalte 3 auf den Basisvektor

b_{3} = (- 1, 0, 1)

?

3. Frage: Warum wird hier überhaupt dieses Verfahren genutzt? "Normal" Gauss geht doch genauso

. .

.

Fall 2 ist klar :-)

Danke schon mal und Liebe Grüße,
Lizzy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:24 Uhr, 18.06.2019

Hallo
in einem GS in dem man eine Variable beliebig wählen kann, kann man verschieden vorgehen, wenn man immer wie du nach Gauss vorgeht ist man immer richtig.
was in eurer Vorlesung, auf die sich der Text bezieht , gemacht wurde weiss ich nicht, einfacher als deine Methode sieht es nicht aus.
die Lösungsmenge wird eigentlich immer so dargestellt, wenn es wie hier eine Gerade im

ℝ^{3}

ist. und du hast ja dasselbe raus,
allerdings ist die Antwort alle Vektoren der Form

(1 - t,0, t)

sind Lösungen ist auch richtig, aber nicht üblich, vielleicht erkennst du auch an der anderen Form besser, dass es eine Gerade ist.
Gruß ledum

-Lizzy- aktiv_icon

00:21 Uhr, 27.06.2019

Herzlichen Dank für die Antwort :-)
Wie das Verfahren funktioniert, habe ich herausgefunden.

Viele Grüße
Lizzy

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