Lösungsmenge gegeben, LGS gesucht

Servus,

mit dem Lösen von LGS bin ich mittlerweile ganz gut vertraut. Nun habe ich aber eine Aufgabe, in der ich die Lösungsmenge vorgegeben habe und das dazu passende LGS angeben muss, also gesucht ist Matrix A und vektor b für die gilt Ax=b und das LGS soll folgende Lösungsmenge haben:

${\displaystyle \text{L}=\{{(1,0,1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(-1,1,0)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(0,1,-1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}};\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\}}$

Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran?

Ok, Lösungsmenge als Ebenengleicheung - verstanden :)

Ebenengleichung in Koordinatenform:

$$\begin{gathered} {\displaystyle -{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=-2 \\ \text{und ein vielfaches davon wäre z.B.:} \\ 2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=4} \end{gathered}$$

Schnitt zweier Ebenen erhält man durch gleichsetzen?:

${\displaystyle -{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3+2=2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3-4}$

oder meinst du Aufstellen einer Matrix:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-1-1-1|-2\\ +2+2+2|+4\end{array}\right)}$

und nu?

So habs jetzt raus:

Also

(-1 -1 -1 | -2) oder ( 2 2 2 | 4)

oder der Einfachkeit halber

(1 1 1 | 2) ist mein LGS zur gegebenen Lösungsmenge.

Wenn ich nun zur Kontrolle das LGS lösen will um zu schauen, ob die gleiche Ebene herauskommt gehe ich wie folgt vor:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>},{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ also frei wählbar, da die Matrix nur Rang 1 hat.

${\displaystyle \Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=2-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

also ist meine Lösungsmenge

${\displaystyle \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={(2,0,0)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(-1,1,0)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(-1,0,1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Die Lösungsmenge aus der Aufgabenstellung war jedoch:

${\displaystyle \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={(1,0,1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(-1,1,0)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(0,1,-1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Jetzt ist die Frage ob dies die gleichen Lösungsmengen sind.

Dazu vergleiche ich die Normalenvektoren der Ebenen:

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1={(-1,1,0)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\times {(-1,0,1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={(1,1,1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2={(-1,1,0)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\times {(0,1,-1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={(-1,-1,-1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ \Rightarrow {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=-1*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2} \end{gathered}$$

Daraus folgt, das die Ebenen, also die Lösungsräume gleich sind, und somit das gefundene LGS richtig ist. *freu

VG und Danke an alle die mir geholfen haben,

Carlo