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Lösungsmenge gegeben, inhomogenes LGS aufstellen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, inhomogenes LGS, Lineares Gleichungssystem, Lösungsmenge

bluelabel aktiv_icon

19:20 Uhr, 07.02.2012

Guten Abend,
Bestimmen Sie ein inhomogenes lineares

(9

× 4)-Gleichungssystem mit

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix})) + S 1 (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})) + S 2 (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \\ - 5 \end{matrix}))

als Lösungsmenge.

Kann mir einer helfen, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Ein Kommilitone sagte mir, dass ich für

S 1

und

S 2

beliebige Zahlen einsetzen soll.
Dann beides addieren soll und so aufschreiben:

S 1 = 1, S 2 = 0

x_{1} = 3

x_{2} = 1

x_{3} = 3;

x_{4} = - 3

1 x_{1} + 2 x_{2} + 1 x_{3} + 2 x_{4} = 2

S 1 = 0, S 2 = 1

und soweiter.
So komme ich beispielsweise auf dieses LGS:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & - 1 & 2 & - 5 \\ 3 & 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 26 \\ 28 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Ist diese LGS richtig? Denn wenn ich von diesem LGS die Lösungsmenge bestimme, erhalte ich eine andere Lösungsmenge.
Über eine Antwort würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

Yokozuna aktiv_icon

01:05 Uhr, 08.02.2012

Hallo,

Dein LGS kann nicht richtig sein. Es ist

z . B

{(3, 1, 3, - 3)}^{T}

eine Lösung Deines Gleichungssystems (so hast Du es ja gerade gebastelt), aber

z . B

. für

s_{1} = 1

und

s_{2} = 1

erhalten wir den Lösungsvektor

{(6, 2, 6, - 6)}^{T}

. Der ist genau das zweifache des obigen Lösungsvektors und wenn man den in Dein LGS einsetzt, kommt links das doppelte heraus wie auf der rechten Seite. Das LGS geht also für diesen Vektor nicht auf.
Es genügt nicht, sich für einige ausgewählte Werte von

s_{1}

und

s_{2}

eine Matrix zu basteln, sondern das LGS muß für alle Werte von

s_{1}

und

s_{2}

(und das sind ziemlich viele) erfüllt sein.
Ich bin inzwischen zu der Überzeugung gekommen, daß es kein inhomogenes LGS mit der angegebenen Lösungsmenge gibt. Ich betrachte jetzt mal nur eine Zeile

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}

)der Matrix (den Spaltenindex habe ich jetzt mal weggelassen, damit ich nicht soviel schreiben muß) und multipliziere diese Zeile mit der Lösung:

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) \cdot [(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix}) + s_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + s_{2} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \\ - 5 \end{matrix})] =

(3 a_{1} + a_{2} + 3 a_{3} - 3 a_{4}) + s_{1} \cdot (a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} + 2 a_{4}) + s_{2} \cdot (2 a_{1} - a_{2} + 2 a_{3} - 5 a_{4}) = b

wobei

b

die entsprechende Komponente der rechten Seite ist. Da das LGS inhomogen sein soll, muß

b \neq 0

sein. Die vorstehende Gleichung kann nur dann für alle beliebigen Werte von

s_{1}

und

s_{2}

erfüllt werden, wenn die Faktoren bei

s_{1}

und

s_{2}

gleich Null sind und der erste Klammerausdruck muß dann gleich

b

sein, also:

a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} + 2 a_{4} = 0

2 a_{1} - a_{2} + 2 a_{3} - 5 a_{4} = 0

3 a_{1} + a_{2} + 3 a_{3} - 3 a_{4} = b

Wir haben jetzt 3 Gleichungen für 5 Unbekannte. Die Idee wäre jetzt, sich 2 der 5 Werte vorzugeben,

z . B

b (\neq 0)

und

a_{4}

und dieses Gleichungssystem nach den restlichen 3 Unbekannten aufzulösen. Mit 9 verschiedenen Wertepaaren für

z . B

b

und

a_{4}

würde man so 9 verschieden Zeilen für die gesuchte Matrix bekommen. Das funktioniert leider nicht, weil dieses Gleichundssystem nur Rang 2 hat. Ich schreibe es jetzt mal als Matrix:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | 0 \\ 2 & - 1 & 2 & - 5 & | 0 \\ 3 & 1 & 3 & - 3 & | b \end{matrix})

Wenn man jetzt das doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile sowie das dreifache der ersten Zeile von der dritten Zeile subtrahiert, erhält man folgende Matrix:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 9 & | 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 9 & | b \end{matrix})

Die zweite und die dritte Zeile sind links identisch, die entsprechenden rechten Seiten sind aber verschieden. Für

b \neq 0

ist deshalb das Gleichungssystem nicht lösbar. Deshalb wird man für die vorgegebene Lösungsmenge kein inhomogenes LGS konstruieren können.

Viele Grüße
Yokozuna

bluelabel aktiv_icon

19:09 Uhr, 08.02.2012

Hey,
Ja vielen Dank.
Was muss ich machen, wenn ich diese Aufgabe lösen will.
Bestimmen Sie mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ein lineares 7 × 4 Gleichungssystem
mit der Lösungsmenge

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + < (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \\ - 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 7 \\ - 5 \end{matrix}), (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 11 \\ - 8 \end{matrix}) >

Das rechte ist ein linear Span. Mit dem Gauß-Jordan kann ich sehen, dass ich mit zwei Vektoren die anderen darstellen kann. Also brauche ich zwei davon momentan nicht berücksichtigen, korrekt?

Wenn ich jetzt das gleiche mache, wie du oben gemacht hast.

(a_{1} + a_{1} - a_{1} + a_{1}) + S 1 \cdot (2 a_{1} + 2 a_{1} + 3 a_{1} - 2 a_{1}) + S 2 \cdot (3 a_{1} + 3 a_{1} + 4 a_{1} - 3 a_{1})

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 & | b \\ 3 & 3 & 2 & - 1 & | 0 \\ 4 & 4 & 3 & - 2 & | 0 \end{matrix})

Ist das bis hierhin richtig?

Yokozuna aktiv_icon

20:41 Uhr, 08.02.2012

Ausgehend von der Gleichung kriege ich erst mal folgendes Gleichungssystem:

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 & | b \\ 2 & 2 & 3 & - 2 & | 0 \\ 3 & 3 & 4 & - 3 & | 0 \end{matrix})

Du hast offensichtlich die erste Zeile jeweils einmal zur zweiten und einmal zur dritten Zeile hinzuaddiert. So, wie Du es gemacht hast ist es nicht richtig, denn man muß bei Zeilenoperationen auch die rechte Seite in gleicher Weise behandeln. Also müßten rechts in der zweiten und dritten Zeile nach Deinen Zeilenoperationen auch jeweils

b

stehen. Aber so bringt uns das auch nicht viel weiter.

Wie schon bei der letzten Aufgabe haben wir wieder 5 Variablen, aber nur 3 Gleichungen. Deshalb kann man so vorgehen, daß man für 2 der Variablen willkürlich einen Wert wählt und dann die drei Gleichungen nach den restlichen 3 Variablen auflöst. Ich würde auf jeden Fall für

b

den Wert festlegen. Um zu entscheiden, für welche der Variablen

a_{1}, a_{2}, a_{3}

und

a_{4}

der Wert ebenfalls von vornherein festgelegt werden soll, würde ich erst das Gleichungssystem durch Zeilenoperationen auf eine Form bringen, bei der möglichst viele Nullen erscheinen. Das erleichtert auch die spätere Auflösung. Bei diesem Gleichungssystem bietet sich

z . B

. an, das 2-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile und das 3-Fache der ersten Zeile von der dritten Zeile abzuziehen. Dann hast Du schon mal eine Menge Nullen in den beiden ersten Spalten der Matrix stehen. Damit würde ich erst mal anfangen. Danach kannst Du noch versuchen, durch Addition eines geeigneten Vielfachen der zweiten Zeile zur dritten Zeile dort noch eine weitere Null zu erzeugen.

Viele Grüße
Yokozuna

971980

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