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Lösungsmenge in aufzählender Form bei Gleichungen

Schüler

Tags: aufzählende Form, Gleichungen, Lösungsmenge

wurzelhannes aktiv_icon

08:34 Uhr, 03.03.2014

Für das vorbereiten auf den Mathewettbewerb mit meinem Sohn habe ich selbst Schwierigkeiten den Lösungsweg nachzuvollziehen. Die Lösung selbst habe ich unten angefügt, jedoch keine Ahnung wie man ohne Rechner und sonstige Hilfsmittel zur gleichen gelangt. Vielleicht könnt ihr mir hier Nachhilfe geben.
Vielen Dank schon einmal im Voraus.

Michael

Aufgaben:

Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an;

G = Z =

{

...;−2;−1;0;1;2;...}.

a) {(x + 2)}^{3} = 27

b) {(x + 2)}^{4} > 81

c) (x + 1) \cdot {(x + 3)}^{4} = (x + 1)

d) (x + 1) \cdot (x^{2}

−

4) < 0

e) {(x + 5)}^{2} \cdot (x

−

3) = 0

f) (x + 5) \cdot (x

−

3) > 0

g) {(x + 5)}^{2} \cdot (x^{2} + x

−

4) = {(x + 5)}^{3}

h) {(x + 5)}^{4}

≥

81

Lösungen:

a)

L = {1}

oder

x = 1,

denn:

x + 2 = 3

b)

{

...;−7,−6,2,3,...}, denn:

x + 2 > 3

oder

x + 2 < - 3

x > 1

oder

x <

−5

c)

{

−4;−2,−1}, denn:

x

=−1 oder

{(x + 3)}^{4} = 1

x

=−1 oder

(x + 3) = 1

oder

(x + 3)

=−1

d)

{

...;−5,−4,−3,0,1}, denn:
1. Fall:

x + 1 > 0

und (x^2−4)<0

X

>−1 und

x^{2} < 4

L 1 = {0; 1}

2. Fall:

x + 1 < 0

und (x^2−4)>0

x

<− 1 und

x^{2} > 4

L2=

{

...;−5;−4;−3}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

08:51 Uhr, 03.03.2014

Bei Wettbewerben wird häufig verlangt, dass die Teilnehmer grundlegende Tatsachen un

d

Zusammenhänge im Kopf haben müssen. Hier sind das

z . B

. die einfachen Potenzgesetze sowie die Quadrate und Kuben der ersten Zahlen. Da du sehr viele Aufgaben gefragt hast, beantworte ich zunächst nur drei ausgewählte, an denen du das Prinzip erkennen kannst.

prodomo aktiv_icon

09:07 Uhr, 03.03.2014

a) {(x + 2)}^{3} = 27

. Es muss erkannt werden, dass

27 = 3^{3}

ist, also muss

x + 2 = 3

sein . Damit muss

x = 1

sein. Also

L = {1}

b) {(x + 2)}^{4} > 81

. Auch hier muss erkannt werden, dass

3^{4} = 81,

aber auch

{(- 3)}^{4} = 81

ist.
Da die 4. Potenzen negativer Zahlen alle positiv sind, kann demnach

x + 2 > 3

oder

x + 2 < - 3

eine Lösung sein. Offenbar wurde als Grundmenge die Menge der ganzen Zahlen gewählt (sonst wäre die aufzählende Darstellung nicht möglich). Da man die Aufzählung immer in aufsteigender Reihenfolge schreibt, ergibt sich

L = {... - 5, - 4, 4, 5, ...}

g) {(x + 5)}^{2} \cdot (x^{2} + x - 4) = {(x + 5)}^{3}

. Hier kommt ein weiterer Aspekt hinzu. Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Wenn also die Klammer

(x + 5) = 0

ist, ergeben beide Seiten 0 und die Gleichung ist wahr. Eine Lösung ist also

x = - 5

.
Wenn aber

x

nicht

- 5

ist, dann ist

(x + 5)

nicht 0 und man darf auf beiden Seiten der Gleichung durch diese Klammer teilen (wäre sie

0,

dürfte man das nicht). Damit bleibt

x^{2} + x - 4 = x + 5

. Das ergibt

x^{2} = 9

. Damit kann

x = 3

oder

x = - 3

sein. Somit wird

L = {- 5, - 3,3}

wurzelhannes aktiv_icon

09:23 Uhr, 03.03.2014

Viele Dank für die sehr schnelle Antwort und Erklärung.
Alleine die Beschreibung der Vorgehensweise in diesem Fall ist sehr hilfreich.
Die einzelnen Schritte sind nachvollziehbar und für mich bestimmt auch auf weitere Aufgaben umzulegen.

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