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Lösungsmenge komplexe Gleichung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

limes21 aktiv_icon

23:27 Uhr, 18.09.2023

Hallo,

gegeben ist

B := {z \in ℂ : \frac{| z^{2} + 2 |}{| 3 i |} = 8 \cdot | \frac{3}{{(i \cdot z)}^{2} - 2} |}

substituiere

w = z^{2} + 2

und beachte

| 3 i | = 3

sowie

| {(i \cdot z)}^{2} - 2 | = | z^{2} + 2 | = | w |

führt auf die Gleichung

{| w |}^{3} = 216

| w | = 6^{3} = 6

also ist der Betrag der komplexen Zahl

| w | = 6

was vielleicht später nützlich ist.

dann habe ich:

w = u + i \cdot v

\sqrt{u^{2} + v^{2}} = 6 \Leftrightarrow u^{2} + v^{2} = 36

und so den Betrag beim

w

wegbekommen.

offenbar gilt

v = \sqrt{36 - u^{2}}

und das setze ich jetzt so ein in

w = u + i \cdot v

und es ergibt sich über die Rücksubstitution dann:

w = u + i \cdot \sqrt{36 - u^{2}} = z^{2} + 2 \Leftrightarrow z^{2} = (u - 2) + i \cdot \sqrt{36 - u^{2}} \Leftrightarrow z = \sqrt{(u - 2) + i \cdot \sqrt{36 - u^{2}}}

jetzt komme ich nicht weiter.

Was muss ich jetzt machen? Kann ich irgendwie die Eulerform nutzen um diese Wurzel zu lösen

o

.ä.?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

01:03 Uhr, 19.09.2023

>

führt auf die Gleichung

> {| w |}^{3} = 216

Wie das??

Nicht eher

{| w |}^{2} = 72

limes21 aktiv_icon

09:43 Uhr, 19.09.2023

Hallo Roman,

ich habe mich verschrieben, im linken Zähler steht also

{| z^{2} + 2 |}^{2}

HAL9000

10:26 Uhr, 19.09.2023

Dann stimmt es trotzdem noch nicht. Möchtest du nochmals die linke Seite korrigieren in

{(\frac{∣ z^{2} + 2 ∣}{∣ 3 i ∣})}^{2}

, oder doch erst den Telefonjoker ziehen?

Zu deinem Ansatz

w = u + i v

und den weiteren Ausführungen: Da gilt zum einen

- 6 \leq u \leq 6

. Zum anderen erfasst

v = \sqrt{36 - u^{2}}

nur die Hälfte der Lösungen, die andere ist

v = - \sqrt{36 - u^{2}}

, das darfst du nicht unter den Tisch fallen lassen. Denselben Fehler machst du nochmal am Ende bei der Umformung zu

z

. Tatsächlich ist somit

z = \pm \sqrt{u - 2 \pm i \sqrt{36 - u^{2}}}

mit

u \in [- 6, 6]

sowie die beiden

\pm

unabhängig voneinander kombinierbar.

> jetzt komme ich nicht weiter.

Tja, wo willst du denn überhaupt noch hin? Womöglich zu einer direkten Kartesischen Darstellung

z = a + i b

? Das wäre noch möglich, ja: Kollege Leopold vom Matheboard hat mal ohne Umweg über die Polardarstellung die Quadratwurzel einer beliebigen komplexen Zahl so dargestellt

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=55481#post55481 .

limes21 aktiv_icon

10:42 Uhr, 19.09.2023

soo, es tut mir sehr leid an alle, ich habe hier echt komplettes Durcheinander gemacht.

Also die richtige ursprüngliche Gleichung ist natürlich

| \frac{z^{2} + 2}{3} i | = 8 \cdot {(| \frac{3}{{(i \cdot z)}^{2} - 2} |)}^{2})

Da ja mein Weg auf dieser auch aufbaut sind diene Antworten @Hal9000 dennoch für diese auch gültig, wenn ich das hier richtig sehe? Danke im Übrigen für die Antworten schon mal an euch beide.

limes21 aktiv_icon

10:47 Uhr, 19.09.2023

exakt, es geht um die Skizzierung in der Gaußebene, danke für den Verweis auf den Matheboard-Artikel, den schaue ich mir gleich mal an. ;-)

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