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Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit
 
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Hi Ich habe folgende Fragen zu lineare Gleichungssystemen (dabei bezeichne ich mit die Anzahl Zeilen, mit die Anzahl Spalten und mit den Rang des Gleichungssystems): - Wenn die Anzahl Zeilen mit der Anzahl Spalten übereinstimmt und das zugehörige homogene Gleichungssystem nicht-triviale Lösungen hat - gibt es dann für beliebige rechte Seiten mindestens eine Lösung - oder folgt dann dass es eine rechte Seite gibt, die zu unendlich vielen Lösungen führt? Und wie kann ich eine solche Frage beantworten? - Wann hat ein homogenes Gleichungssystem keine nicht-trivialen Lösungen? Wenn oder wenn ? Und wenn man vom Rang eines Gleichungssystems spricht ist dabei immer der Rang der ERWEITERTEN Koeffizientenmatrix gemeint? Danke |
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Die Frage ist etwas chaotisch. Meinst du das? http//de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem#L.C3.B6sbarkeitskriterien |
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Ja, tut mir leid wenn die Fragen etwas wirr formuliert sind. Hier ist sonst das Original (Aufgabe www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2012/other/linalg_itet/uebungen/edit/serie2.pdf Zu Aufgabe welches ich zitiert habe, steht bei uns noch: "Wir wissen, dass ein homogenes Gleichungssystem genau dann nicht-triviale Lösungen hat, wenn . Damit haben wir und das homogene Gleichungssystem (das Gleichungssystem mit dem Nullvektor als rechter Seite) hat eine parametrige Schar von Lösungen, also insbesondere unendlich viele Lösungen. Damit ist die Aussage wahr." Hier vergleicht man den Rang mit der Anzahl Spalten (warum?) und der Zusammenhang mit nicht-trivialen Lösungen kenn ich auch nicht. |
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Hallo, "Hier vergleicht man den Rang mit der Anzahl Spalten (warum?) und der Zusammenhang mit nicht-trivialen Lösungen kenn ich auch nicht." Die Zahl der Zeilen oder Spalten ist eine obere Schranke für den Rang. Der Rang gibt auch die Dimension des Bildes an, deshalb ist der Zusammenhang mit michttrivialen Lösungen durch den "Dimensionssatz" gegeben. Gruß pwm |
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Hallo, vorausgesetzt, sowohl der Körper und der Vektorraum darüber haben unendlich viele Elemente, dann gilt die Behauptung mit den unenedlich vielen Lösungen. Im Falle von über wären es trotzdem nur endliche viele. Beachte den Tipp des Dimensionssatzes von pwmeyer. Man kann zwar auch ohne ihn aus, muss dann aber die Tatsache, dass nicht triviale Lösungen hat, eher abbildungstechnisch betrachten: Die zugehörige Abbildung kann dann nicht injektiv sein! Mfg Michael |
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Ok, danke für die Tipps! Also, so wie das jetzt verstanden habe: - Eine Matrix stellt eine lineare Abbildung dar, wobei und (hatte mich gefragt, wie man vom Dimsatz bezgl linearen Abbildungen auf Matrizen schliessen kann). - Dimensionssatz: dim(ker(f)) dim(im(f)) wobei Rang matrix = dim(im(f)) also: dim(ker(f)) rang - Somit: dim(ker(f)) und die Dimension des Kernes wäre 0 wenn damit wäre die definierte Abbildung auch injektiv, damit gäbe es für das homogene GLS nur eine Lösung - und zwar die triviale. - Für gibt es mit obiger Argumentation auch nicht-triviale Lösungen für das homogene GLS Stimmt das? Ich hab noch zwei Fragen: - Wenn die Dimension des Kernes . 2 ist, bedeutet dies ja, dass der Kern durch zwei Basisvektoren aufgespannt werden kann. Zugleich bedeutet dies, dass wir zwei Lösungsvektoren (oder wohl eher: der Lösungsraum ist 2-dimensional?) für das Lösen des homgenen GLS haben. Wie bringt man diese zwei Sachen zusammen? Da scheint mir noch ein Schritt zu fehlen - also von der Anzahl der Lösungsvektoren bis zur Dimension eines anderen Vektorraumes (des Kernes). Wisst ihr, was ich meine? - Andere Frage: Sobald ich Paramter für die Lösungsvektoren bestimmen kann, ist meine Abbildung nicht mehr injektiv,oder? Danke! |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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