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Lösungsmenge quadratischer Gleichung

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khwarizmionline

khwarizmionline aktiv_icon

13:00 Uhr, 23.02.2021

Antworten
Wie kann ich die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung bestimmen?

x2+y2+ax+by+c=0

Ich weiß, dass die Lösung geometrisch entweder einem Kreis, einem Punkt oder der leeren Menge entspricht. Doch wie kann ich es algebraisch zeigen bzw. beweisen?

jetzt schon vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

13:06 Uhr, 23.02.2021

Antworten
.
"... entweder einem Kreis, einem Punkt oder der leeren Menge ..."

wovon hängt das jeweils ab?
was meinst?

...
.
khwarizmionline

khwarizmionline aktiv_icon

13:16 Uhr, 23.02.2021

Antworten
zu erste ist die allgemeine Kreisgleichung in Koordinatenform angegeben:
(x-m1)2+(y-m2)2=r2. Dieses ist äquivalent zu:
x2-2m1x+m12+y2-2m2y=r2 bzw.
x2+y2-2m1x-2m2y+(m12+m22-r2)=0

und das ist eben eine quadratische Gleichung in den Variablen x und y der Form:
x2+y2+ax+by+c=0

die Lösungsmenge dieser Gleichung entspricht eben geometrisch den Fällen von oben und ich soll es beweisen.. Weiß aber leider nicht, wie ich die Sache angehen soll??
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

13:21 Uhr, 23.02.2021

Antworten
.
du hast meine Frage nicht beantwortet ... :-)

also : wann wirst du mit der gegebenen Ggleichung zB einen Punkt bekommen?
(von was hängt das ab ?)
usw ...
.
khwarizmionline

khwarizmionline aktiv_icon

14:15 Uhr, 23.02.2021

Antworten
aso verstehe.. ja..
nur ist nichts anderes angeführt. also die Angabe ist wie oben.

wäre es möglich selbst eine Gerade heranzuziehen?
oder die gegebene Gleichung "aufzuspalten" in x2+y2=0 und ax+by+c=0
würde das etwas bringen..?
khwarizmionline

khwarizmionline aktiv_icon

14:16 Uhr, 23.02.2021

Antworten
aso verstehe.. ja..
nur ist nichts anderes angeführt. also die Angabe ist wie oben.

wäre es möglich selbst eine Gerade heranzuziehen?
oder die gegebene Gleichung "aufzuspalten" in x2+y2=0 und ax+by+c=0
würde das etwas bringen..?
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

14:39 Uhr, 23.02.2021

Antworten
.
nichts "aufspalten" ..

du hast drei Parameter a,b,c

überlege, was du bekommst,

wenn
a=b=c=0

wenn
a=b=0 und c>0

wenn
a=b=0 und c<0

usw..

? also ...?



nebenbei:
damit man sieht, ob du überhaupt noch da bist
(also zB. dann eine Antwort auch gleich "ankommt"
und ob es "rentiert", auf eine Reaktion zu warten ..usw..)

→ grüner Punkt :
Mein Bereich → Privatsphäre → Wer darf meinen Online-Status sehen? → Alle (anklicken!)
danke

.







Antwort
Roman-22

Roman-22

14:46 Uhr, 23.02.2021

Antworten
> usw..
Ja, das "usw." wäre das eigentlich Interessante und nicht, ob a=b=0 ist, oder?
Im Grunde geht es um das Vorzeichen des Ausdrucks a2+b2-4c

@khwarizmionline
Vergleiche doch die gegebene Form in a,b und c mit der von dir angegebenen und ausgerechneten in m1,m2 und r und versuche, r2 durch a,b, und c auszudrücken.

Überlege auch, was es in der Darstellung (x-m1)2+(y-m2)2=r2 geometrisch bedeutet, wenn r2>0,r2=0 oder r2<0 ist.


Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

16:02 Uhr, 23.02.2021

Antworten
.
"Ja, das "usw." wäre das eigentlich Interessante und nicht, ob a=b=0 ist, oder?"

grossartiger ( ss ) nummerierter Roman :
kein "oder"..
. aber als überschlauer Heimlich-Herumschleicher bist du wohl gar nicht auf die Idee gekommen,
dass die Fragende - nachdem sie die genannten Sonderfälle! durchschaut hat - dann ohne deine
tolle "Zuvor"kommenheit wohl die Frage eben nach den "eigentlichen" Fällen selbst stellen würde.
Und möglicherweise hätte sie dann sogar den weiteren Weg selbst gefunden und profitiert..

Na ja, vielleicht kommt ja noch eine Rückfrage von khwarizmionline (falls sie noch "da" wäre?)

.


khwarizmionline

khwarizmionline aktiv_icon

17:13 Uhr, 23.02.2021

Antworten
ich habe mir die Fälle r2<0 und r2>0 angeschaut, beim ersteren liegt der Punkt innerhalb und beim zweiten außerhalb vom Kreis.
Wenn a=b=c=0, dann bleibt ja nur noch x2+y2=0 und nur der Nullpunkt erfüllt die Gleichung.

r2 durch a,b,c ausgedrückt bekomme ich: r2=(a2)2+(b2)2-c

jetzt kann ich das als (x-a2)2+(y-b2)2=(a2)2+(b2)2-c schreiben (oder?)

nun fehlt mir noch der Ansatz, wie ich auf "a^2 +b2- 4c" komme..

weil wenn das gleich r2 ist, kann ich einfach die Fälle von oben für r2 heranziehen. (denke ich:-))


@rundblick
bei mir wird ständig dieser "grüne Punkt" angezeigt.. sollte also passen:-)
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

17:39 Uhr, 23.02.2021

Antworten
.

"ich habe mir die Fälle r2<0 und r2>0 angeschaut,
beim ersteren liegt der Punkt innerhalb und beim zweiten außerhalb vom Kreis. "
............................. echt ?
r2 also das Quadrat einer reellen Zahl ist doch immer positiv (r20).. oder?
und r2<0 verkaufte dir halt oben ein Roman .. :-)



"nun fehlt mir noch der Ansatz, wie ich auf " a2+b2-4 c" komme..

Tipp: bringe (a2)2+(b2)2-c auf den Hauptnenner .. :-)

"weil wenn das gleich r2 ist, " .. .. Nein : "das" ist =4r2.. ok?


nun kannst du auch sofort sagen, welche Bedingung die drei Parameter erfüllen müssen,
damit du
a) Kreise
b) genau einen Punkt
c) keine reelle Lösungsmenge
...... bekommst

also :......


nebenbei:
jetzt bist du mir auch grün - freue mich.

.
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:03 Uhr, 23.02.2021

Antworten
> ich habe mir die Fälle r2<0 und r2>0 angeschaut, beim ersteren liegt der Punkt innerhalb und beim zweiten außerhalb vom Kreis.
Welcher Punkt?
Es geht doch um die Gleichung in x,y...=r2

Dass r2 das Quadrat einer reellen Zahl ist und daher nicht negativ sein kann, ist eine nicht zutreffende Interpretation von rundblick.

Legen wir mal den Mittelpunkt der Figur, die manchmal auch ein Kreis ist, in den Koordinatenursprung.

Dann ergibt sich die Gleichung x2+y2=r2.
Und natürlich steht r2 für eine beliebige Zahl aus , die auch negativ sein kann. man wählt die Schreibweise r2, weil diese Größe als Quadrat eines Kreisradius gesehen werden kann und wenn der Radius r reell ist, hat man sogar eine Chance, den Kreis im Reellen zeichnen zu können (Sofern der Radius nicht zu klein wird).

Und du solltest nur untersuchen, welches Gebilde sich für r2>0,r2=0 und r2<0 einstellt und das entsprechend auf a,b und c umlegen.
Dass du nur die Wahl zwischen "Kreis", "Punkt" und "keine Punktmenge in 2 " hast, das weiß du ja schon.


Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

21:05 Uhr, 23.02.2021

Antworten
.
"Dass r2 das Quadrat einer reellen Zahl ist und daher nicht negativ sein kann,
ist eine nicht zutreffende Interpretation "

............................... toll, diese Selbstverteidigung des grossen Könners !

also denn:
du hast (x-a2)2+(y-b2)2=a2+b2-4c4

und sollst die möglichen Punktmengen in Abhängigkeit von den drei Parameterwerten a,b,c untersuchen.

und da brauchst du nicht die abwegige Idee , den Term auf der rechten Seite mit r2 zu benennen,
um dann das Problem der negativen Quadratzahlen zu verkaufen.


.............................. die vernünftige Argumentation geht einfach so:

auf der linken Seite stehen positive Werte (Summe zweier Quadrate)

a).. wenn nun rechts eine positive Konstante steht, dh wenn
a2+b2-4c>0
.. dann ist die Lösungsmenge ein Kreis mit Radius r=a2+b2-4c und M(a2/b2)

b).. wenn a2+b2-4c=0
.. dann ist die Lösungsmenge der Punkt P(a2/b2)

c).. wenn a2+b2-4c<0
.. dann ist die Lösungsmenge leer (denn (x-a2)2+(y-b2)2 kann nicht negativ werden)

fertig .. :-)

weitere Romane erübrigen sich..
.




khwarizmionline

khwarizmionline aktiv_icon

21:32 Uhr, 23.02.2021

Antworten
Herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung!



war ein spannendes hin und her rechnen mit linguistischer Pointe :-))
nochmals vielen Dank @rundblick und @Roman-22