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Lösungsmenge quadratischer Gleichung

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Tags: Sonstig

khwarizmionline aktiv_icon

13:00 Uhr, 23.02.2021

Wie kann ich die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung bestimmen?

x^{2} + y^{2} + a \cdot x + b \cdot y + c = 0

Ich weiß, dass die Lösung geometrisch entweder einem Kreis, einem Punkt oder der leeren Menge entspricht. Doch wie kann ich es algebraisch zeigen bzw. beweisen?

jetzt schon vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

13:06 Uhr, 23.02.2021

.
"... entweder einem Kreis, einem Punkt oder der leeren Menge ..."

wovon hängt das jeweils ab?
was meinst?

\to . .

.
.

khwarizmionline aktiv_icon

13:16 Uhr, 23.02.2021

zu erste ist die allgemeine Kreisgleichung in Koordinatenform angegeben:

{(x - m_{1})}^{2} + {(y - m_{2})}^{2} = r^{2}

. Dieses ist äquivalent zu:

x^{2} - 2 m_{1} x + m_{1}^{2} + y^{2} - 2 m_{2} y = r^{2}

bzw.

x^{2} + y^{2} - 2 m_{1} x - 2 m_{2} y + (m_{1}^{2} + m_{2}^{2} - r^{2}) = 0

und das ist eben eine quadratische Gleichung in den Variablen

x

und

y

der Form:

x^{2} + y^{2} + a \cdot x + b \cdot y + c = 0

die Lösungsmenge dieser Gleichung entspricht eben geometrisch den Fällen von oben und ich soll es beweisen.. Weiß aber leider nicht, wie ich die Sache angehen soll??

rundblick aktiv_icon

13:21 Uhr, 23.02.2021

.
du hast meine Frage nicht beantwortet

. .

. :-)

also : wann wirst du mit der gegebenen Ggleichung zB einen Punkt bekommen?
(von was hängt das ab ?)
usw

. .

.
.

khwarizmionline aktiv_icon

14:15 Uhr, 23.02.2021

aso verstehe.. ja..
nur ist nichts anderes angeführt. also die Angabe ist wie oben.

wäre es möglich selbst eine Gerade heranzuziehen?
oder die gegebene Gleichung "aufzuspalten" in

x^{2} + y^{2} = 0

und

a \cdot x + b \cdot y + c = 0

würde das etwas bringen..?

khwarizmionline aktiv_icon

14:16 Uhr, 23.02.2021

aso verstehe.. ja..
nur ist nichts anderes angeführt. also die Angabe ist wie oben.

wäre es möglich selbst eine Gerade heranzuziehen?
oder die gegebene Gleichung "aufzuspalten" in

x^{2} + y^{2} = 0

und

a \cdot x + b \cdot y + c = 0

würde das etwas bringen..?

rundblick aktiv_icon

14:39 Uhr, 23.02.2021

.
nichts "aufspalten" ..

du hast drei Parameter

a, b, c

überlege, was du bekommst,

wenn

\to a = b = c = 0

wenn

\to a = b = 0

und

c > 0

wenn

\to a = b = 0

und

c < 0

usw..

? also

\to ...

?

nebenbei:
damit man sieht, ob du überhaupt noch da bist
(also zB. dann eine Antwort auch gleich "ankommt"
und ob es "rentiert", auf eine Reaktion zu warten ..usw..)

→ grüner Punkt :
Mein Bereich → Privatsphäre → Wer darf meinen Online-Status sehen? → Alle (anklicken!)
danke

.

Roman-22

14:46 Uhr, 23.02.2021

>

usw..
Ja, das "usw." wäre das eigentlich Interessante und nicht, ob

a = b = 0

ist, oder?
Im Grunde geht es um das Vorzeichen des Ausdrucks

a^{2} + b^{2} - 4 c

@khwarizmionline
Vergleiche doch die gegebene Form in

a, b

und

c

mit der von dir angegebenen und ausgerechneten in

m_{1}, m_{2}

und

r

und versuche,

r^{2}

durch

a, b,

und

c

auszudrücken.

Überlege auch, was es in der Darstellung

{(x - m_{1})}^{2} + {(y - m_{2})}^{2} = r^{2}

geometrisch bedeutet, wenn

r^{2} > 0, r^{2} = 0

oder

r^{2} < 0

ist.

rundblick aktiv_icon

16:02 Uhr, 23.02.2021

.
"Ja, das "usw." wäre das eigentlich Interessante und nicht, ob

a = b = 0

ist, oder?"

grossartiger

(\leftarrow

ss ) nummerierter Roman :

\to

kein "oder"..
. aber als überschlauer Heimlich-Herumschleicher bist du wohl gar nicht auf die Idee gekommen,
dass die Fragende - nachdem sie die genannten Sonderfälle! durchschaut hat - dann ohne deine
tolle "Zuvor"kommenheit wohl die Frage eben nach den "eigentlichen" Fällen selbst stellen würde.
Und möglicherweise hätte sie dann sogar den weiteren Weg selbst gefunden und profitiert..

Na ja, vielleicht kommt ja noch eine Rückfrage von khwarizmionline (falls sie noch "da" wäre?)

.

khwarizmionline aktiv_icon

17:13 Uhr, 23.02.2021

ich habe mir die Fälle

r^{2} < 0

und

r^{2} > 0

angeschaut, beim ersteren liegt der Punkt innerhalb und beim zweiten außerhalb vom Kreis.
Wenn

a = b = c = 0,

dann bleibt ja nur noch

x^{2} + y^{2} = 0

und nur der Nullpunkt erfüllt die Gleichung.

r^{2}

durch

a, b, c

ausgedrückt bekomme ich:

r^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} - c

jetzt kann ich das als

{(x - \frac{a}{2})}^{2} + {(y - \frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} - c

schreiben (oder?)

nun fehlt mir noch der Ansatz, wie ich auf "a^2

+ b^{2} -

4c" komme..

weil wenn das gleich

r^{2}

ist, kann ich einfach die Fälle von oben für

r^{2}

heranziehen. (denke ich:-))

@rundblick
bei mir wird ständig dieser "grüne Punkt" angezeigt.. sollte also passen:-)

rundblick aktiv_icon

17:39 Uhr, 23.02.2021

.

"ich habe mir die Fälle

r^{2} < 0

und

r^{2} > 0

angeschaut,
beim ersteren liegt der Punkt innerhalb und beim zweiten außerhalb vom Kreis. "

... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. echt ?

\to r^{2} \to

also das Quadrat einer reellen Zahl

\to

ist doch immer positiv

(r^{2} \geq 0) .

. oder?

\to

und

\to r^{2} < 0

verkaufte dir halt oben ein Roman .. :-)

"nun fehlt mir noch der Ansatz, wie ich auf "

a^{2} + b^{2} - 4

c" komme..

Tipp: bringe

{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} - c \to

auf den Hauptnenner .. :-)

"weil wenn das gleich

r^{2}

ist, " ..

\leftarrow .

. Nein : "das" ist

= 4 \cdot r^{2} .

. ok?

nun kannst du auch sofort sagen, welche Bedingung die

d r e i \to

Parameter erfüllen müssen,
damit du

a) \to

Kreise

b) \to

genau einen Punkt

c) \to

keine reelle Lösungsmenge

... . .

. bekommst

also

: ... . .

.

nebenbei:
jetzt bist du mir auch grün - freue mich.

.

Roman-22

20:03 Uhr, 23.02.2021

>

ich habe mir die Fälle

r 2 < 0

und

r 2 > 0

angeschaut, beim ersteren liegt der Punkt innerhalb und beim zweiten außerhalb vom Kreis.
Welcher Punkt?
Es geht doch um die Gleichung in

x, y ... = r^{2}

Dass

r^{2}

das Quadrat einer reellen Zahl ist und daher nicht negativ sein kann, ist eine nicht zutreffende Interpretation von rundblick.

Legen wir mal den Mittelpunkt der Figur, die manchmal auch ein Kreis ist, in den Koordinatenursprung.

Dann ergibt sich die Gleichung

x^{2} + y^{2} = r^{2}

.
Und natürlich steht

r^{2}

für eine beliebige Zahl aus

ℝ,

die auch negativ sein kann. man wählt die Schreibweise

r^{2},

weil diese Größe als Quadrat eines Kreisradius gesehen werden kann und wenn der Radius

r

reell ist, hat man sogar eine Chance, den Kreis im Reellen zeichnen zu können (Sofern der Radius nicht zu klein wird).

Und du solltest nur untersuchen, welches Gebilde sich für

r^{2} > 0, r^{2} = 0

und

r^{2} < 0

einstellt und das entsprechend auf

a, b

und

c

umlegen.
Dass du nur die Wahl zwischen "Kreis", "Punkt" und "keine Punktmenge in

ℝ^{2}

" hast, das weiß du ja schon.

rundblick aktiv_icon

21:05 Uhr, 23.02.2021

.
"Dass

r^{2}

das Quadrat einer reellen Zahl ist und daher nicht negativ sein kann,
ist eine nicht zutreffende Interpretation "

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. toll, diese Selbstverteidigung des grossen Könners !

also denn:
du hast

\to {(x - \frac{a}{2})}^{2} + {(y - \frac{b}{2})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} - 4 c}{4}

und sollst die möglichen Punktmengen in Abhängigkeit von den drei Parameterwerten

a, b, c

untersuchen.

und da brauchst du nicht die abwegige Idee , den Term auf der rechten Seite mit

r^{2}

zu benennen,
um dann das Problem der negativen Quadratzahlen zu verkaufen.

... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. die vernünftige Argumentation geht einfach so:

\to

auf der linken Seite stehen positive Werte (Summe zweier Quadrate)

a) .

. wenn nun rechts eine positive Konstante steht, dh wenn

\to a^{2} + b^{2} - 4 c > 0

.. dann ist die Lösungsmenge ein Kreis mit Radius

r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 4 c}

und

M (\frac{a}{2} / \frac{b}{2})

b) .

. wenn

a^{2} + b^{2} - 4 c = 0

.. dann ist die Lösungsmenge der Punkt

P (\frac{a}{2} / \frac{b}{2})

c) .

. wenn

a^{2} + b^{2} - 4 c < 0

.. dann ist die Lösungsmenge leer (denn

{(x - \frac{a}{2})}^{2} + {(y - \frac{b}{2})}^{2}

kann nicht negativ werden)

fertig .. :-)

weitere Romane erübrigen sich..
.

khwarizmionline aktiv_icon

21:32 Uhr, 23.02.2021

Herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung!

war ein spannendes hin und her rechnen mit linguistischer Pointe :-))
nochmals vielen Dank @rundblick und @Roman-22

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