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Lösungsmenge-Intervall in Zahlenstrahl einzeichnen

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Tags: Betragsungleichung, Funktion

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19:17 Uhr, 03.10.2012

Hallo

ich habe hier die Betragsungleichung

| x + 3 | + | x + 4 | < 9

Dabei erhielt ich für den Fall

1.1,

bei dem das

x + 3

positiv und das

x + 4

positiv ist folgendes

x \geq - 3

x \geq - 4

x < 1

1. Was muss ich jetzt unter dem Fall

1.1

als Lösungsmenge hinschreiben?
2. Wie muss ich da im Bezug auf die Lösungsmngenschreibweise bei Fall

1.1

vorgehen?

Beim Fall

1.2

bei dem

x + 3

positiv ist und

x + 4

negativ ist, erhielt ich folgende Ergebnisse

x \geq - 3

x < - 4

- 1 < 9

Auch hier wieder die gleichen Fragen wie oben bei Fall

1.1 :

1. Was muss ich jetzt unter dem Fall

1.2

als Lösungsmenge hinschreiben?
2. Wie muss ich da im Bezug auf die Lösungsmngenschreibweise bei Fall

1.2

vorgehen?

Beim Fall

2.1

bei dem

x + 3

negativ ist und

x + 4

positiv ist, erhielt ich folgende Ergebnisse

x < - 3

x < - 4

1 < 9

Auch hier wieder die gleichen Fragen wie oben bei Fall

1.1

und Fall

1.2 :

1. Was muss ich jetzt unter dem Fall

2.1

als Lösungsmenge hinschreiben?
2. Wie muss ich da im Bezug auf die Lösungsmngenschreibweise bei Fall

2.1

vorgehen?

Und jetzt nur noch beim letzten Fall, der Fall

2.2

bei dem

x + 3

negativ ist und

x + 4

negativ ist, erhielt ich folgende Ergebnisse

x < - 3

x < - 4

x > 8

Auch hier wieder die gleichen Fragen wie oben bei Fall

1.1

und Fall

1.2

und Fall

2.1 :

1. Was muss ich jetzt unter dem Fall

2.2

als Lösungsmenge hinschreiben?
2. Wie muss ich da im Bezug auf die Lösungsmngenschreibweise bei Fall

2.2

vorgehen?

Es wäre wirklich mehr als riesig super wenn mir das jemand bitte erklären könnte!

Vielen Dank ür eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

20:16 Uhr, 03.10.2012

| x + 3 | + | x + 4 | < 9

Vorschlag: werte die linke Seite aus für diese drei Fälle:

1.

x < - 4

- 4 < x < - 3

x > - 3

Beispiel Fall 3.

\to

für

x > - 3

kannst du die Betragszeichen weglassen
(da beide Terme positiv)
es bleibt dann folgende Ungleichung :

x + 3 + x + 4 < 9

2 x + 7 < 9

2 x < 2

x < 1

und damit hast du den ersten Teil deines gesuchten Lösungsintervalls :
alle

x

mit

- 3 < x < 1

erfüllen die Ungleichung

gehe nun ganz analog vor für die beiden restliche Fälle 1. und 2.

was bekommst du als Teillösung zu 2.

\to

?
was bekommst du als Teillösung zu 1.

\to

. .

. und dann am Schluss als Gesamtlösung?

\to .

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20:49 Uhr, 03.10.2012

Hallo rundblick

du hast jetzt geschrieben, dass ich für die beiden restliche Fälle 1 und 2 genauso vorgehen soll. ich vermute mal, dass du mit "Fall 1" den Fall

1.1

meinst und mit Fall 2 den Fall

2.2

meinst.

Versteh ich dich so richtig, dass du jetzt bei Fall

1.2

und Fall

2.1

nicht drauf ein gegangen bist, da da bei beiden dieser Fälle das

x

am Ende weggefalen ist und letztendlich zum Schluss nur Zahlen rauskommen Fall1.2

- 1 < 9

und Fall

2.11 < 9

und man dabei immer also als Lösungsmenge " Lösungsmenge ist nicht definiert" hinschreiben muss ?

rundblick aktiv_icon

21:20 Uhr, 03.10.2012

... ... ... .

. NEIN

Ich hatte dir oben vorgeschlagen, auf der x-Achse drei Intervalle zu betrachten

(und falls es dir nicht aufgefallen ist:
deren Nummern haben nichts mit den von dir gewählten Nummern zu tun)

Fall 1. ist das Intervall : alle

x

mit

x < - 4

wenn du für x-Werte in diesem Intervall die Betragszeichen weglässt,
dann sieht das so aus (weil beide Terme negativ)

\to

- (x + 3) - (x + 4) = - 2 x - 7

also sieht dann die Ungleichung für

x < - 4

so aus:

\to

- 2 x - 7 < 9

- 2 x < 16

x > - 8

demnach hast du das nächste Lösungsintervall: alle

x

mit

- 8 < x < - 4

ob du nun in der Lage bist, den verbleibenden Fall 2.

(- 4 < x < - 3)

doch noch selbst zu schaffen?

dann kannst du die drei Teillösungen vereinigen und erhältst

... .

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21:40 Uhr, 03.10.2012

Muss da dann sowas stehen?
L_ges

= {x | - 3 \leq x < 1} \cup {x | - 4 \leq x < - 3} \cup {x | - 8 < x < - 4}

Wenn das da was ich da oben grade hingeschrieben richtig ist, dann kann ich das doch SCHEMATISCH IMMER so vorgehen, dass ich für jeden Lösungsfall ganz links die kleinste Zahl dann in die Mitte ein

x

und rechts daneben (die letze Zahl) die größte Zahl hinschreiben kann, wobei ich immer das

<

Zeichen dazwischen anwende.

Kann ich da so,wie ich oben geschrieben habe, bei jeder Betragsrechnung schematisch vorgehen?

Als Lösungsmenge gesamt muss da dann

(- 8,1)

stehen richtig ?

rundblick aktiv_icon

21:47 Uhr, 03.10.2012

ja, genau
alle

x

aus dem Intervall

- 8 < x < 1

erfüllen die Ungleichung

| x + 3 | + | x + 4 | < 9

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21:51 Uhr, 03.10.2012

super, also war mein Ergebnis schonmal richtig! Aber was ist mit meiner Vorgehensweise die ich da hingeschrieben habe? Kann ich da so auf jede andere Betragdungl. vorgehen? Guck mir zuerst die kleinste Zahl an dann

. .

rundblick aktiv_icon

22:06 Uhr, 03.10.2012

"Guck mir zuerst die kleinste Zahl an dann .."

na ja Gucken macht Spass -
aber kleinste Zahlen (?!) spielen keine tragende Rolle..

denn bei Beträgen sortiert man so:

\to

wann ist der Term |dazwischen| positiv ? ..dann kann man die

| |

Zeichen weglassen

\to

wann ist der Term |dazwischen| negativ ? ..dann:|dazwischen|=(-1)*(dazwischen)

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22:23 Uhr, 03.10.2012

Kann mir bitte jemand von euch anhand eines Zahlenstrahls diese Ergebnisse der Betragsungleichung auf einem Blatt zeigen/einzuzeichnen, wie das dann auszusehen hat?

Danke

Underfaker aktiv_icon

14:12 Uhr, 07.10.2012

Meinst du vielleicht so etwas?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=|x%2B3|%2B|x%2B4|+%3C9

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14:30 Uhr, 07.10.2012

Hallo underfaker, dankesehr, dass du mir bei meiner Frage weiterhelfen willst.

Die Internetseite die du mir geschickt hast, ist sehr gut für andere Themen sehe ich gerade. Die habe ich schonmal als Favorit gespeichert. Aber im Bezug auf die Darstellung der Betragsungleichung meine ich eine andere. Guck mal bitte auf dieser Internetseite, wo eine andere Betragsungleichung in welcher Form anhand eines Zahlenstrahls dargestellt ist.

Jetzt fällt es mir schwer so einen Zahlenstrahl mit meinen meheren Ergebnissen meiner Betragsungleichung zu übertragen und so zu zeichnen.

http//www.mathe-online.at/mathint/ungl/i.html#12

Dankesehr für deine Hilfe underfaker

Underfaker aktiv_icon

14:37 Uhr, 07.10.2012

Die lösungsmenge:

- 8 < x < 1

und dafür bietet Wolframalpha ebenfalls einen Zahlenstrahl an, über die Feinheiten der Notation musst du dir dann im Klaren sein.

Es sind also bei

- 8

und 1 (unausgefüllte) Kreise zu zeichnen um anzudeuten, dass sie nicht zur Lösungsmenge gehören, das entnehme ich deinem Link.

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14:45 Uhr, 07.10.2012

Super, Vielen Dank für deine Hilfe underfaker! Jetzt wird mir unten die Darstellung mit dem Zahlenstrahl, bzogen auf meine Betragsungleichung, klar.

Mhhh, komisch... also als Antwort auf meine Frage hätte also jemand von euch nur einen Link schicken müssen....

Danke underfaker :-)

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