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Lösungsoperator

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

JaBaa aktiv_icon

23:05 Uhr, 30.01.2021

Hallo an alle zusammen,

wie schon so oft habe ich keine Idee bei folgender Aufgabe:

(Lösungsoperator)
Sei I

\subset ℝ

ein offenes Interval mit

t_{0} \in I

und sei

A \in C^{0} (I, ℝ^{n \times n})

. Die Abbildung

Δ : ℝ^{n} \to ℝ^{n}

bilde den Anfangswert

x_{0}

auf die Lösung

x

der Gleichung

x^{'} (t) = A (t) x (t),

x (t_{0}) = x_{0}

ausgewertet an einer festen Stelle

t^{⋆} \in I

ab,

d . h

Δ : x_{0} \mapsto x (t^{⋆}; t_{0}, x_{0})

. Beweisen sie:

(a)

Δ

ist wohldefiniert
(b)

Δ

ist ein Vektorraumisomorphismus

Ich schaue eigentlich nicht so oft auf meine durchschnittlichen punkte in den Übungen ;-), aber diesmal stehe ich einen halben Punkt unter

70 %, (

ab da gibt es den 2ten Bonus für die Klausur ) und in dieser Übung gibt es

16

Punkte und ich habe (ganz sicher) schon

11

Punkte in dieser Übung ( ist die letzte Übung vor der Klausur), deshalb würde ich mich wirklich über jede kleinste Hilfe freuen :-).
Natürlich würde ich auch gerne wissen wie die Aufgabe funktioniert ;-).

Also meiner Meinung nach folgt die Wohldefiniertheit doch sofort, da meine Abbildungsvorschrift vom

ℝ^{n}

auf den

ℝ^{n}

abbildet

zur

(b)

habe ich mir so viele Gedanken gemacht, dass ich überhaupt gar nicht mehr verstehe warum diese Aussage gilt.

ich hoffe mir hilft jemand auch wenn jemand nur auf die

(a)

schaut :-)

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

JaBaa aktiv_icon

13:09 Uhr, 31.01.2021

Ach ich hatte gade eine Idee.Ich kann mit dem Fundamentalsystem argumentieren. Die Spalten eines Fundamentalsystems sind linear unabhängig für alle

t \in I

also insbesondere auch für

t_{0}

. Dann wähle ich die Spalten als Basis und dann müsste ich darauf kommen dass die Abbildung

Δ

für alle (verschiedenen)

x_{0} (

also die Spalten meiner Fundamentalmatrix

Z (t_{0})

linear unabhängige Vektoren als Bild hat.

Da wir einen Endomorphismus haben folgt daraus schon die Bijektivität. Ich muss natürlich noch an allem pfeilen was ich oben als Idee geäußert habe.

DrBoogie aktiv_icon

13:14 Uhr, 31.01.2021

Wohldefiniertheit bedeutet, dass der Wert

Δ (x_{0})

eindeutig ist. Das folgt aus der Eindeutigkeit der Lösung des Systems, diese wiederum folgt z.B. aus dem Satz von Peano.
Also ich würde nicht sagen, dass Wohldefiniertheit offensichtlich ist. Du musst noch zeigen, dass hier Peano greift. Alternativ natürlich kann man einfach direkt zeigen, dass die Lösung eindeutig ist. Man kann schließlich die Lösung auch direkt angeben:

x = e^{A (t)} x_{0}

.

Dass

Δ

ein Vektorraumhomomorphismus ist, zeigt man direkt. Seien

a, b

beliebige Zahlen und

x_{0}

y_{0}

beliebige Vektoren. Sei

x_{1}

die Lösung zum Anfangswert

x_{0}

und

x_{2}

die Lösung zum Anfangswert

y_{0}

, also

x_{1} (t) = x (t; t_{0}, x_{0})

und

x_{2} (t) = x (t; t_{0}, y_{0})

. Dann gilt

(a x_{1} + b x_{2}) (t_{0}) = a x_{1} (t_{0}) + b x_{2} (t_{0}) = a x_{0} + b y_{0}

, außerdem gilt

(a x_{1} + b x_{2})^{ʹ} = a x_{1}^{ʹ} + b x_{2}^{ʹ} = a A x_{1} + b A x_{2} = A (a x_{1} + b x_{2})

.
Damit ist

a x_{1} + b x_{2}

die Lösung des Systems zum Anfangswert

a x_{0} + b y_{0}

und damit gilt

a x_{1} (t) + b x_{2} (t) = x (t; t_{0}, a x_{0} + b y_{0})

, was dasselbe ist wie

a x (t^{*}, t_{0}, x_{0}) + b x (t^{*}, t_{0}, y_{0}) = x (t^{*}, t_{0}, a x_{0} + b y_{0})

und das wiederum dasselbe wie

a Δ (x_{0}) + b Δ (y_{0}) = Δ (a x_{0} + b y_{0})

.

Es bleibt zu zeigen, dass

Δ

bijektiv ist.
Das ist recht einfach, wenn man

x = e^{A (t)} x_{0}

nutzen darf. Es sollte auch ohne gehen, aber momentan weiß ich nicht wie.

JaBaa aktiv_icon

13:19 Uhr, 31.01.2021

Ach so ja habe in meiner Idee glatt vergessen, dass ich auch den Homomorphismus zeigen muss :-) .
Dankeschön ich lasse die Frage noch offen und werde ( wenn ich es nicht wieder vergesse) nochmal meine Lösungsversuche schreiben.

Vielen Dank mal wieder schonmal.

JaBaa aktiv_icon

23:50 Uhr, 07.02.2021

Hi nochmal,

ich schreibe hier nochmal für die nachfolgenden Generationen ;-) meinen Teil der Lösung auf, falls irgendwann jemand mal nach einer solchen Aufgabe sucht :-) .

Ich nehme mir ein Fundamentalsystem

Z

von meiner gegebenen homogenen DGL. Es gilt für alle

t \in I,

dass

Z (t)

linear unabhängige Spaltenvektoren hat, also insbesondere auch für

Z (t_{0})

. Nun wähle ich mir meine Basis aus dem

ℝ^{n}

als die Spaltenvektoren aus meiner Fundamentalmatrix aus

Z (t_{0})

. Alle Spaltenvektoren werden von

Δ

auf die Lösung meiner DGL abgebildet an einer bestimmten

t^{⋆} \in I

. Damit wird jeder Basisvektor aus

Z (t_{0})

auf den jeweiligen Spaltenvektor aus der Fundamentalmatrix an der Stelle

t^{⋆},

also auf die Spalten von

Z (t^{⋆}, t_{0}, x_{0})

abgebildet. Also wird eine Basis auf eine Basis abgebildet und damit gilt die Bijektivität von

Δ,

weil

Δ

von

ℝ^{n}

auf den

ℝ^{n}

abbildet ( mit der oben gezeigten Linearität von

Δ)

Ach übrigens habe meine

70 %

geschafft mit 2 Punkten drüber. Also ich hatte wohl doch etwas hilfe nötig. Also vielen Dank nochmal ;-) .

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