 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Logarithmieren im Kopf
Logarithmieren im Kopf
Universität / Fachhochschule
Tags: Kopfrechnen, Logarithmieren, null, Zahl
 
|
  |
|---|
|
Hallo liebes Forum, ich bin Chemiestudentin, und muss für meine nächste Prüfung im Kopf logarithmieren können, sprich wir dürfen keinen Taschenrechner benutzen. Ich muss aber lediglich mit dem dekadischen Logarithmus rechnen können. Da meine Vorbildung bzgl. Mathematik nur aus Abendschulkursen besteht und ich auch so schon immer eine komplette Null in Mathematik war und immernoch bin komme ich überhaupt nicht weiter. Also ich weiss der dekadische Logarithmus ist . Ich kann auch mittlerweile von Null bis damit rechnen, indem ich mir merke dass log von ist und für die Zahlen von benutze ich die Formel . Ab 7 gehe ich dann nur in Fünfer Schritte. Auch mit höheren Zahlen geht es mittlerweile. Mein Problem ist jetzt aber dass ich nicht weiterkomme wenn ich den log aus Zahlen rauskriegen muss die unter Null liegen. Ich hab auch mittlerweile rausgekriegt dass die Zahlen unter null immer negativ sind. Soweit so gut, aber wie berechne ich . den log aus oder oder oder usw. usf. Bei Zahlen wo hinter den Nullen eine 1 steht ist es absolut kein Problem. . . Aber was mach ich wenn keine 1 dahinter steht sondern . ich wäre wirklich dankbar wenn mir da wer weiterhelfen könnte. Ich sag auch gleich dass ich wirklich wirklich überhaupt keinen Durchblick habe was Mathematik angeht, deswegen wäre es nett in so laienhafter Sprache wie möglich erklären, ich kann mit langen Formeln überhaupt nix anfangen. wäre dankbar für jeden Rat Lg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Hallo, meinst Du . ? Alles klar? Viele Grüße Yokozuna |
 |
|
hey entschuldige dass ich erst jetzt antworte ich war die letzten Wochen stark verhindert super das was du da hast hilft mir erstmal unglaublich weiter danke also ich hab jetzt rausgekriegt dass ich mit normalen zahlen auch so meine schwierigkeiten habe. . Logarithmus von wie mach ich das? also ich weiss die erste zahl ist aufjdenfall 1 weil zwischen und liegt. Gut also . dann seh ich mir die an und weiss von zwei ist der also hab ich auch schon die zweite ziffer sprich . die erste zahl nach der kommastelle stimmt immer aber wenn es dann um die 5 geht, da ist der log ja . aber der log von ist ja nicht also was ist wenn jetzt auch die zweite kommastelle richtig verlangt wird, oder geht das dann nicht mehr im kopf |
|
|
|
Hallo, vielleicht geht es so einfacher: Jetzt mußt Du nur noch wissen. Viele Grüße Yokozuna |
|
|
|
hey, also bei ists ja noch recht einfach die wurzel zu wissen, aber was mach ich bei zahlen wie . klar die wurzel von dem könnte man auch ausrechnen und dann daraus den log aber ich hab nur ne begrenzte zeit für die Prüfung. Gibts da nen schnelleren Rechenweg? Also ich bräuchte einfach nen Rechenweg wo ich die ersten zwei Ziffern hinter der Kommastelle richtig hab. Bis jetzt gelingt es mir nur mit der ersten Ziffer dahinter |
|
|
|
Ich denke, daß ich Dir helfen kann. Aber dazu wäre es gut zu wissen, wieviele signifikante Stellen die Zahlen haben, deren Logarithmen zu berechnen sind. Haben die auch 2 signifikante Stellen, also . oder haben die mehr signifikante Stellen . etc. ? Viele Grüße Yokozuna |
|
|
|
ok ist peinlich aber ich weiss nicht was signifikante stellen sind es sind eher einfache Zahlen die ich wissen muss. Also ph-Wert Berechnungen muss ich können da kommen allerhöchstens Zahlen vor die wo nach den nullen maximal 2 nummern stehen. . . Hier müsste ich dann mindestenst eine Zahl angeben wo zumindest die ersten zwei ziffern nach der kommastelle stimmen. Dann so zahlen wie . oder . Also allerhöchsten zwei stellen nach dem Komma. ja es ist total dumm ausgedrückt was ich da grad geschrieben hab, ich weiss nicht wie ich es anders erklären soll, mein mathematisches Verständnis ist einfach grauenhaft. |
|
|
|
Hallo, mir ist inzwischen klar geworden, daß meine Frage überflüssig war, denn mit Logarithmen mit 2 Nachkommastellen, kann man Zahlen mit 3 oder mehr Stellen nicht mehr unterscheiden, ja es gibt sogar zweistellige Zahlen, die den gleichen Logarithmus mit 2 Nachkommastellen haben, . ist . Es hat dann erst recht keinen Sinn, etwa berechnen zu wollen. Ich habe mir ein System ausgedacht, mit dem Du Logarithmen von Zahlen mit 2 signifikanten Stellen auf 2 Nachkommastellen genau berechnen kannst. Mit 2 signifikanten Stellen führende Ziffern) meine ich . oder . Zahlen wie würde man dann auf 2 signifikante Stellen auf- oder abrunden, hier also . auf bevor man davon den Logarithmus berechnet. Was anderes macht mit 2 Nachkommastellen keinen Sinn. Du bekommst heute noch etwas von mir. Es ist eine etwas längliche Beschreibung aber jetzt kriege ich die nicht mehr fertig, denn ich bin schon zu müde. Also dann bis heute vormittag. Viele Grüße Yokozuna |
|
|
|
Hallo, jetzt kommt ziemlich viel Material und ich verteile alles auf 3 Antworten, die ich kurz hintereinander verschicke. Ich erzähle Dir jetzt mal, welche Möglichkeiten es gibt, die Logarithmen auf 2 Stellen hinter dem Komma zu berechnen. Man braucht dazu eigentlich nur die Logarithmen von den 4 einstelligen Primzahlen. Daraus lassen sich dann die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis berechnen. Die 4 Logarithmen sind: Man muß alle Berechnungen zunächst mit 3 Stellen durchführen und dann das Endergenis auf 2 Stellen auf- oder abrunden. Wenn man grundsätzlich nur zweistellig rechnet, ist bei etwa einem Viertel der berechneten Logarithmen die 2. Stelle nach dem Komma nicht korrekt (Abweichungen um nach oben oder unten). Die restlichen einstelligen Zahlen sind allesamt Produkte der beiden Zahlen 2 und 3. Deshalb lassen sich die Logarithmen der restlichen einstelligen Zahlen leicht aus und berechnen: Auch diese Logarithmen brauchen wir für die weiteren Berechnungen 3-stellig. Zusammen mit und haben wir die Zahlen 1 bis komplett. Nun zu der Berechnung der Logarithmen der Zahlen bis . Ich habe dazu eine Tabelle gemacht (siehe unten). Die Tabelle enthält eine Spalte mit dem Argument eine weitere Spalte mit den Faktoren von und schließlich in der dritten Spalte mit dem exakten Wert von einmal auf 2 Stellen gerundet und in Klammern auf 3 Stellen gerundet. In der Spalte "Faktoren" bedeutet Primzahl und ein Strich "-" kennzeichnet eine Zehnerzahl, deren Logarithmus wir sofort aus den entsprechenden Logarithmen der einstelligen Zahlen bekommen, indem wir statt 0 eine 1 vor das Komma setzen. Die Logarithmus-Funktion ist monoton ansteigend und wächst sehr gleichmäßig. Am Anfang nimmt sie am stärksten zu, später wir der Zuwachs immer geringer. Wenn man den Logarithmus mit 2 Nachkommastellen betrachtet, beträgt der Zuwachs von nach vier Einheiten in der zweiten Nachkommastelle (also ab ist der Zuwachs bereits maximal 3 Einheiten und ab nur noch maximal 2 Einheiten in der zweiten Nachkommastelle. Und hier fällt nun auf, daß in dem Bereich zwischen und (ich habe den Bereich hellblau eingefärbt) jeweils die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Weten in der Tabelle immer beträgt. Wenn man also den Logarithmus einer Zahl in diesem Bereich kennt, kann man alle anderen Logarithmen dieses Bereichs sehr leicht berechnen. Zum Glück haben wir mit eine Zehnerzahl in diesem Bereich (sozusagen einen Anker), deren Logarithmus wir kennen . Damit kriegen wir mit minimalstem Aufwand . oder . Nach schwankt der Zuwachs zwischen 1 und 2 Einheiten in der zweiten Nachkommastelle. Damit ist aber auch bekannt, er ist um größer als (wäre er um größer, würde der Bereich mit dem konstanten Zuwachs in der zweiten Nachkommastelle) von bis gehen und nicht nur bis und mit der gleichen Argumentation ist um kleiner als denn bei einem Zuwachs von würde der Bereich bereits bei beginnen und einen Zuwachs von gibt es erst ab also bleibt nur kommt auch nicht in Frage, da sich der Zuwachs von einer Zahl zur nächsten maximal um ändert). Ab beträgt der Zuwachs nur noch maximal eine Einheit in der zweiten Nachkommastelle und vor allen Dingen haben wir wieder einen Bereich, diesmal von bis (mit einem etwas dunkleren Blau eingefärbt), in dem der Logarithmus von einer Zahl zur nächsten immer genau um zunimmt und wir haben auch zwei Ankerzahlen, deren Logarithmus wir kennen, und . Hier kann man sich sogar eine kleine einfache Formel basteln: für Ähnlich wie beim Block zuvor kann man die Logarithmen der Zahlen vor und nach dem Block ebenfalls gleich angeben. Es ist und . Ab schwankt der Zuwachs zwischen 0 und 1 Einheiten in der zweiten Nachkommastelle. Schließlich haben wir von bis noch einen dritten großen Block mit gleichmäßiger Änderungsrate (dunkelblau eingefärbt) und zwar ist beginnend mit immer der Logarithmus einer ungeraden Zahl und der Logarithmus der unmittelbar folgenden geraden Zahl gleich. Wir haben also immer Zweiergruppen gleicher Logarithmen und wir haben wieder Ankerzahlen und . Ausgehend von der nächstgelegenen Ankerzahl kann man relativ leicht den zugehörigen Logarithmus ermitteln. . für gehen wir von aus, dann ist auch und es ist und schließlich . Fassen wir zusammen: Wir haben drei Bereiche von Zahlen, für die der Logarithmus ausgehend von Ankerzahlen relativ leicht berechnet werden kann: (plus und Zuwachs (plus und Zuwachs Zuwachs Zusammen mit den drei Zehnerzahlen und hat man auf die Logarithmen von ca. aller Zahlen zwischen und bereits relativ leichten Zugriff. (Fortsetzung folgt)  |
|
|
|
(Fortsetzung) Es bleiben damit noch drei Blöcke von Zahlen von und mit zusammen Zahlen. dieser Zahlen sind Produkte von zwei einstelligen Zahlen, so daß deren Logarithmen durch einfache Addition der beiden Logarithmen der Faktoren berechnet werden können, . aufgerundet . Es bleiben also nur noch Zahlen übrig (also etwa für die die Berechnung des Logarithmus etwas mehr Aufwand erfordert: Von diesen Zahlen liegen im Bereich zwischen und . Hier kann man die Interpolation einsetzen. Man betrachtet praktisch die Kurve der Logarithmusfunktion zwischen zwei Punkten als Gerade. Der Abstand zwischen den beiden Punkten darf nicht zu groß sein. Im Intervall zwischen und sollte er nicht größer als 6 sein. Für den Bereich bis verwendet man als Endpunkte für die Interpolationsintervalle am besten und . Die 3-stelligen Logarithmen von und sind bekannt, die von und kann man sich leicht berechnen, da diese Zahlen Produkte einstelliger Zahlen sind. hat 3 Faktoren (es gibt noch 3 Zahlen mit 3 Faktoren, die aber im dunkelblauen Intervall liegen und deshalb nicht berechnet werden müssen). Wenn a das linke Intervallende und das rechte Intervallende sowie die Zahl ist, deren Logarithmus gesucht wird, dann ist Das ist praktisch Dreisatzrechnung. Machen wir ein paar Beispiele: liegt zwischen und . und aufgerundet . liegt zwischen und . und aufgerundet . Die Interpolation kann man auch in den Bereichen bis und bis einsetzen. Zwischen bis sollten allerdings die Intervallgrenzen nicht um mehr als 3 auseinanderliegen, im Bereich bis höchstens um 2 (praktische die beiden Nachbarzahlen). Nimmt man als Intervallgrenzen die beiden Nachbarzahlen, dann ist der gesuchte Logarithmus praktisch der Mittelwert zwischen den beiden Nachbarlogarithmen, . liegt zwischen und . und aufgerundet . Es gibt noch eine Möglichkeit, ausgehend von einem bekannten Logarithmus den Logarithmus von weiteren Zahlen in der Nähe zu berechnen und zwar kann man sich aus der Taylorentwicklung der Logarithmusfunktion eine Näherungsformel basteln, die so aussieht, wenn die Zahl ist, für die der Logarithmus bereits auf 3 Nachkommastellen bekannt ist: Beispiel: Ausgehend von können wir . und berechnen. Es ist (haben wir kurz vorher bereits berechnet). Dann ist aufgerundet aufgerundet . Es funktioniert auch, wenn ist, . aufgerundet . Diese Methode hat gegenüber der Interpolation den Vorteil, daß man nur einen Wert in der Nähe kennen muß. Im Bereich funktioniert dieses Verfahren, wie die Interpolation nur für die direkten Nachbarn. Bei den Zahlen um kann man als maximalen Abstand 2 nehmen (vielleicht funktioniert es auch noch mit dem Abstand aber das müßte man einfach mal ausprobieren). Im Bereich zwischen und kann man als maximalen Abstand bis zu 5 nehmen. Die einzige Zahl, wo die Taylorformel nicht richtig funktioniert, ist die Zahl . Das liegt daran, daß bereits sehr nahe an der Grenze zum AUf- bzw. Abrunden liegt. Egal, ob man von oder aus rechnet, bekommt man immer aufgerundet . Die Interpolation im Intervall bis (Mittelwert von und liefert das richtige Ergebnis aber es ist einfacher sich zu merken, daß um größer ist, als dem Logarithmus der letzten Zahl des hellblauen Bereichs bis . (Fortsetzung folgt) |
|
|
|
(Fortsetzung) Das schnellste Verfahren habe ich mir für den Schluß aufgehoben. Wir haben ja bereits gesehen, daß es drei Bereiche gibt und in denen wir die Logarithmen mit ganz geringem Aufwand berechnen können. Das funktioniert deshalb so gut, weil die Änderung des Logarithmus von einer Zahl zur nächsten ganz regelmäßig erfolgt. In den restlichen Bereichen ist das leider nicht der Fall. Aber vielleicht ist es trotzdem möglich, sich das Muster der Änderung zu merken. Im Intervall zwischen und sind die Änderungen von einem Logarithmus zum nächsten entweder 0 oder in der zweiten Nachkommastelle. Das Muster sieht so aus: Wie man sieht, treten nie mehrere Nullen hintereinander auf und die Blöcken mit den Einsen werden immer kürzer (nie länger). Das Muster kann man sich durchaus merken: eine mal eine mal eine mal eine mal eine mal eine 1 mal eine mal 1. Diese Zahlenfolge schreibt man sich aufs Papier und darunter die zugehörigen Zahlen: Will man wissen, summiert man einfach alle Änderungen bis zur Zahl auf ( das sind Einheiten in der zweiten Nachkommastelle, also und addiert diese Änderung zum ist unsere Ausgangszahl), das ergibt . Von bis sieht die Änderungsfolge so aus: Diese Folge ist relativ kurz und man kann sie sich vielleicht so merken: Und noch die Folge von bis Diese Folge kann man sich vielleicht so merken: Auch bei diesen beiden Folgen muß man nur die Änderungen bis zur Zielzahl aufaddieren und zum Logarithmus der Ausgangszahl, also und hinzuaddieren. Wenn es einem gelingt, sich diese drei Änderungsfolgen zu merken, braucht man nur noch sehr wenig rechnen um die Logarithmen aller Zahlen von bis zu ermitteln. Dann braucht man auch die Logarithmen der einstelligen Primzahlen nur noch 2-stellig: Man muß sich jetzt allerdings noch merken, den läßt sich aus nicht genau berechnen . So, wie man die Logarithmen der Zahlen von 1 bis ermitteln kann, weißt Du jetzt. Jetzt mußt Du nur noch Deine eigentliche Zahl, deren Logarithmus Du ermitteln willst umformen, . oder . So, ich habe jetzt ziemlich viel geschrieben. Schau Dir das mal in Ruhe an, versuche die einzelnen Methoden nachzuvollziehen und auszuprobieren und dann kannst Du entscheiden, mit welcher Methode Du am ehesten zurechtkommst. Viele Grüße Yokozuna |
|
|
|
Super danke dir für deine Hilfe und Mühe, werde ein bisschen üben müssen, bis ichs kann, aber jetzt weiss ichs wie es geht, vielen Dank :-) lg Niggli |
|
|
|
Logarithmieren im Kopf ist aber durchaus eine ungewöhnliche Fertigkeit, die da verlangt wird (wenn es eben nicht um mehr oder weniger glatte Zahlen geht). Vielleicht noch eine Möglichkeit: Wenn du und kennst, kannst du ja auch mal probieren, die gegebene Zahl du verdoppeln / zu verdreifachen / zu halbieren / zu dritteln, bis eine besser handhabbare Zahl (zum Beispiel möglichst genau mit einer Zehnerpotenz übereinstimmend) herauskommt. Was meine ich damit? Beispiel: (genauerer Wert: (genauerer Wert: Ist zwar nicht perfekt, aber vielleicht handhabbarer. |
|
|
|
Hallo ihr Lieben, ich wollte jetzt nicht extra ein neues Thema dazu aufmachen, sondern hier gleich fragen. Also ich weiss mittlerweile wie ich logarithmieren kann. Aber wie mache ich die Umkehrfunktion. Es geht hier um sehr einfach Zahlen. Zum Beispiel der Logarithmische Wert von kommt von der Zahl Zwei. Wie komme ich zu dem Ergebnis wenn ich im Kopf rechnen muss. ist der Logarithmuswert von??? Oder ist von der Zahl der Logarithmuswert. Wir müssen wissen wie das im Kopf geht, also ohne Taschenrechner. Nur ich komm nicht drauf. Wäre dankbar für die Hilfe. lg |
|
|
|
Es ist die Aufregung eh groß dass wir das können müssen aber es geht nunmal nicht anders. Auf der andren Seite seitdem ich mit der LOG Funktion klarkomme komme ich mit vielen Rechnungen super klar und muss nicht groß viel rumrechnen. Daher meine Frage jetzt wie ich einen Wert der logarithmiert ist umkehre. Weil wenn ich das dann auch kann würde mir das wirklich sehr viel weiterhelfen bei der Prüfung, weil ich da in einem Rechenschritt . vom logarithmierten Ph-Wert gleich die Konzentration an Hydroniumionen hätte ohne groß mit Molmassen und Konzentrationen und blabla rumzurechnen. Es sind jetzt keine superkomplizierten zahlen, also es sind schon Rechnungen die wir im Kopf rechnen müssen. . ein Beispiel habe ich: Ich hab einen PH-Wert von . So um rechnen zu können muss ich wissen dass das der Logarithmus von ist. Wie mache ich das ohne Taschenrechner??? Gibts da irgendwelche Rechengesetze oder sowas wie ich das Logding umkehren kann lg |
|
|
|
Vielleicht in Schritten zu je (also Faktor zur nächsten ganzen Zahl (also Zehnerpotenz) hangeln: |
|
|
|
Puh schnall ich jetzt nicht wirklich. Also wie genau machst du das, vorallem die zweite Formel da blick ich nicht durch. also ich hätte vielleicht dazu sagen sollen, dass es hier um den negativ dekadischen logarithmus geht. also Ich hab ja immer so rumprobiert und halt erstmal die Zahl immer umgedreht. Also logx . So ich weiss ist ja Da ich eine Kommastelle hinter der drei habe muss ich auf 4 gehen. Also irgendwas Wie mach ich das mit der zwei? 2 ist ja der Logarithmus von hundert |
|
|
|
Puh schnall ich jetzt nicht wirklich. Also wie genau machst du das, vorallem die zweite Formel da blick ich nicht durch. also ich hätte vielleicht dazu sagen sollen, dass es hier um den negativ dekadischen logarithmus geht. also Ich hab ja immer so rumprobiert und halt erstmal die Zahl immer umgedreht. Also logx . So ich weiss ist ja Da ich eine Kommastelle hinter der drei habe muss ich auf 4 gehen. Also irgendwas Wie mach ich das mit der zwei? 2 ist ja der Logarithmus von hundert wie genau machst du das denn mit deinen Formeln ich blick da null durch, soll ich da immer nur mit mich bis zur nächsten Potenz rantasten oder kommts drauf an wie groß die Differenz ist bis zur nächsten Potenz also bei wäre es ja der Faktor also ca. 7 oder so |
|
|
|
Ja, das ist schon fast ein extremes Beispiel :-) Also folgt aus Oder wenn man bevorzugt abzieht Also Du siehst hierbei auch, dass allzu häufiges abziehen/addieren von langsam aber sicher zu größeren Schätzfehlern führt. |
|
|
|
Naja so extreme Sachen kommen eh nicht, es kommen eher so Zahlen die man im Kopf rechnen kann. Also er gibt zwar gerne sehr knifflige Beispiele aber da ist dann nicht das rechnen knifflig. Aber du hast mich ja jetzt auf eine Idee gebracht. Also ich tu ja immer vom Ph-Wert das rückgängig machen. . wenn ich habe pH das ist ja der negativ dekadische logarithmus von blabla also ist das eine sichere methode wenn ich . das so mache? -logx logx dann zerlege ich das: . Ich gehe eine Potenz weiter und mach daraus . Dann schau ich wieviel ich von auf 4 brauche, das ist . Ich weiss das der Logarithmus von 3 ist. Also habe ich das ist . Laut Taschenrechner stimmt das sogar. Ich weiss nur nicht ob das jetzt so Zufall ist dass ich das richtig rausbekommen habe oder ob das so auch geht. :-) |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1014731
965033