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Logarithmus Differenzieren

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Differentiation

Tags: Differentiation

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15:34 Uhr, 23.07.2016

Ich will zeigen, dass

8 \cdot ln (\frac{2}{x})

für

x \geq 2

differnzierbar ist und rechne

lim_{h \to 0} \frac{8 \cdot ln (\frac{2}{2 + h}) - 8 \cdot ln (\frac{2}{2})}{h} = \frac{8 \cdot ln (\frac{2}{2 + h})}{h} = \frac{8 ln (2) - 8 ln (2 + h)}{h}

Nun wie kann ich hier weiter rechnen, damit ich als ergebniss

- 4

erhalte?
(Denn

f' (x) = - \frac{8}{x})

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)

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15:49 Uhr, 23.07.2016

Die Ableitung ist hier nicht so einfach.

vgl.:

http//www.onlinemathe.de/forum/Ableitung-der-ln-x-Funktion-mit-der-h-methode

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16:45 Uhr, 23.07.2016

Danke für den Link, aber ich daraus kann ich mir höchstens

8 \cdot {ln (\frac{2}{2 + h})}^{\frac{1}{h}}

folgen, aber weiter kann ich mir nicht erdenken. Wie sollte man jetzt von

(\frac{x}{x + h})

nach eine ähnliche Form zu

(1 + \frac{x}{n})

kommen?

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16:50 Uhr, 23.07.2016

Sorry, aber ich beherrsche diese Methode nicht. Hab dich nur auf das Problem hinweisen wollen.
Aber einer unserer Profis wird dir sicher bald weiterhelfen. :-)

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18:02 Uhr, 23.07.2016

Ja das hoffe ich auch :-D)

rundblick aktiv_icon

19:14 Uhr, 23.07.2016

.

Vorschlag :

\to

schreibe zu Beginn statt

f (x) = 8 \cdot ln (\frac{2}{x})

\to f (x) = 8 \cdot ln 2 - 8 \cdot ln x

so kommst du direkt zu deinem obigen Ergebnis, das du nun so darstellen kannst

\to

f (2 + h) - f (2) = 8 \cdot [- \frac{1}{h} \cdot ln (\frac{2 + h}{2})]

f (2 + h) - f (2) = 8 \cdot [- \frac{1}{h} \cdot ln (1 + \frac{1}{\frac{2}{h}})]

f (2 + h) - f (2) = - 8 \cdot [\frac{1}{h} \cdot ln (1 + \frac{1}{\frac{2}{h}})]

f (2 + h) - f (2) = - 8 \cdot [{ln (1 + \frac{1}{\frac{2}{h}})}^{\frac{1}{h}}]

mach nun selbst weiter.. (Tipp: sei

m = \frac{2}{h} .

. und mit

h \to 0

geht

m \to \infty)

\to lim_{h \to 0} [f (2 + h) - f (2)] = . .

.
.

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20:20 Uhr, 23.07.2016

für

m = \frac{2}{h}

gilt

{ln (1 + \frac{1}{m})}^{\frac{m}{2}}

oder

{({ln (1 + \frac{1}{m})}^{m})}^{\frac{1}{2}}

lim_{m \to \infty} (ln ({({(1 + \frac{1}{m})}^{m})}^{\frac{1}{2}}) = ln (e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}

- 8 \cdot \frac{1}{2} = - 4

rundblick aktiv_icon

20:36 Uhr, 23.07.2016

.
nein - du musst schon versuchen richtig zu arbeiten und nicht einfach
einen Faktor

\frac{1}{2}

stillschweigend zu ignorieren ..

also nochmal - siehe schon oben: mit dem "Minus" :

f (2 + h) - f (2) = 8 \cdot [- \frac{1}{h} \cdot ln (1 + \frac{1}{\frac{2}{h}})]

f (2 + h) - f (2) = - 8 \cdot [\frac{1}{h} \cdot ln (1 + \frac{1}{\frac{2}{h}})]

f (2 + h) - f (2) = - 8 \cdot [{ln (1 + \frac{1}{\frac{2}{h}})}^{\frac{1}{h}}]

und jetzt

\to

mit

m = \frac{2}{h} . .

. und damit dann

\to \frac{1}{h} = \frac{m}{2} \Rightarrow

- 8 \cdot [{ln (1 + \frac{1}{\frac{2}{h}})}^{\frac{1}{h}}] \to - 8 \cdot [{ln (1 + \frac{1}{m})}^{\frac{m}{2}}]

- 8 \cdot [{ln ({(1 + \frac{1}{m})}^{m})}^{\frac{1}{2}}]

- 8 \cdot [\frac{1}{2} \cdot {ln (1 + \frac{1}{m})}^{m}]

mach nun weiter..
.

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20:38 Uhr, 23.07.2016

Haha das ist mir auch gerade eben eingefallen. Ich habs oben korrigiert :-D)

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20:45 Uhr, 23.07.2016

Ich hätte dann noch eine zusätzliche "Korrekturfrage". Und zwar war das ganze Differentialrechnung so, um zu prüfen, wie oft eine Funktion

f (x)

mit

f (x) = x^{2} - 8 x + 12

für alle

x < 2, 8 \cdot ln (\frac{2}{x})

für alle

x \geq 0

differentierbar ist und welche Ableitungen stetig.

Ist das so richtig?:

f (x)

höchstens 3 mal differenzierbar, da

8 \cdot ln (\frac{2}{x})

unendlich oft differentierbar, aber

x^{2} - 8 x + 12

nur 3 mal.

f (x)

ist stetig bis zu den 2 te Ableitung, da

f' (2) = - 4

für beide definierte funktion

f'' (2) = 2

für beide Funktion

f''' (2) = 0 \neq - 2 = - \frac{16}{8} = - \frac{16}{x^{3}} = f''' (x)

für

x \geq 2

rundblick aktiv_icon

20:52 Uhr, 23.07.2016

. wau

f (x) = x^{2}

−

8 x + 12

ist im Prinzip auch beliebig oft diffbar
ab der dritten Ableitung alle immer

\to

konstant 0

oder?
.

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20:55 Uhr, 23.07.2016

Danke Danke, das war immer ein Rätsel für mich, ob eine Ableitung nach 0 immer noch als "Ableitung" betrachtet werden kann. Aber die Sache mit der Stetigkeit stimmt?

ProblemMitMathe aktiv_icon

22:41 Uhr, 23.07.2016

Erstmals Danke für die große Hilfe. Falls du noch dazu kommst meinen letzten Beitrag zu lesen, wäre ich für eine kleine Antwort noch dankbar :-D)

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22:41 Uhr, 23.07.2016

(Doppel Eintrag gelöscht)

ledum aktiv_icon

16:01 Uhr, 25.07.2016

Hallo
was genau willst du wissen? das Polynom und ALLE seine Ableitungen und für alle

x

stetig. ebenso die

ln

fkt für alle

x > 0

Gruß ledum

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