Logarithmus. Einfache Frage?

Hallo, 

merke dir: Logarithmus ist nur ein anderes Wort für Exponent.

Solange eine (Hoch)zahl tatsächlich hochgesetzt ist (sie steht gewissermaßen im 1. Stock), nennt man sie "Exponent", wenn sie aber "im Parterre" steht, nennt man sie Logarithmus.

Beispiel: 2 hoch 3 = 8

Hier ist 3 der/ ein Exponent.

Wenn ich aber sage: 3 ist diejenige Zahl, mit der man die Basis 2 potenzieren muss, um das Ergebnis 8 zu erhalten, dann rede ich von der Zahl 3 als einer Zahl "im Parterre". 3 ist also der Logarithmus von 8 zur Basis 2, kurz:

3 = log2 (8)  [Bemerkung: Normalerweise wird die Basis  hinter dem Kürzel "log" tiefgestellt.

Allgemeine Definition für Logarithmus (und die sollte man sich einprägen!): 

Der  Logarithmus von a zur Basis b ist diejenige Zahl, mit der man die Basis b potenzieren muss, um das "den Numerus" a (das Ergebnis a) zu erhalten.

Aus dieser Definition folgt dann:

log4(8) = 3/2. Zur Begründung muss ich 8 als Potenz von 4 darstellen. Der dafür passende Exponent ist dann der gesuchte Logarithmus. 

Wegen  8 = 2^3 = (2^2)^(3/2) = 4^(3/2). 

Dabei wurde hier das Potenzgesetz verwendet: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man benötigt für ein sicheres Beherrschen der logarithmischen Rechenregeln unbedingt die Potenzgesetze, die sich ja auf das rechnen mit den Exponenten (und Logarithmen sind im Prinzip nichts anderes) beziehen. Notfalls: Potenzgesetze Wiederholen!!

Weiter:  log16(32) = ?

Zunächst gilt:  32 = 2^5.

Jetzt soll aber die Basis 16 (= 2^4) heißen.

Also muss die Potenz 2^5 umgeschrieben (umgerechnet) werden auf die Basis 2^4:

Wieder folgt mit Hilfe des oben genannten Potenzgesetzes: 2^5 = (2^4)^(5/4), 

denn: 4*(5/4) ergibt wieder den ursprünglichen Exponenten 5.

Somit ist zur Basis 16 = 2^4  der Bruch 5/4 der passende Exponent, 

kurz:   log16(32) = 5/4.

Damit folgt endgültig:  log4(8) : log16(32)  =  (3/2):(5/4) = (3/2)*(4/5) = 6/5 = 1,2.

Das von dir genannte Ergebnis 1/4 ist also leider falsch.

MfG