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Logarithmus-Gesetze

Universität / Fachhochschule

Tags: Logarithmus

Sukomaki aktiv_icon

19:33 Uhr, 05.01.2017

Hi, nur kurz eine Frage zu den Logarithmus-Gesetzen :

Seien

a := 7 \land b := - 5 \Rightarrow

\log (a b) = \log (a) + \log (b) = \log (35) + i \cdot π

Aber es gilt nicht

\log (\frac{a}{b}) = \log (a) - \log (b)

, da

\log (\frac{7}{- 5}) = \log (\frac{7}{5}) + i \cdot π

, während

\log (7) - \log (- 5) = \log (\frac{7}{5}) - i \cdot π

Was ist der Definitionsbereich für

\log (\frac{a}{b}) = \log (a) - \log (b)

?
Beziehungsweise wie muss ich mit der Ungleichheit der
beiden Ausdrücke umgehen?

Gruß
Maki76

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Roman-22

20:20 Uhr, 05.01.2017

1)

Wenn du den natürlichen Logarithmus meinst, dann musst du

ln

schreiben und nicht log. log bezeichnet bestenfalls bei der Angabe allgemeiner Regeln einen Logarithmus beliebiger Basis

2)

Jede komplexe Zahl

y,

für die

e^{y} = x

gilt, ist ein natürlicher komplexer Logarithmus von

x \to ln (x) = y

.
In diesem Sinne ist der komplexe Logarithmus nicht eindeutig und es ist

ln (- 1) = i \cdot (π + k \cdot 2 π)

mit

k \in ℤ

. Da ist

i \cdot π

genau so ein

ln (- 1),

wie es auch

- i \cdot π

(für

k = - 1)

ist oder auch

17 π

3)

Dem Wunsch nach Eindeutigkeit kann entsprochen werden, indem man sich auf den sog. Hauptwert beschränkt, welcher durch

- \frac{π}{2} <

Im(y)

\leq \frac{π}{2}

gekennzeichnet ist.
!!EDIT: Natürlich sollte das

- π <

Im(y)

\leq π

heißen.

4)

Beachte, das du nicht alle bekannten Rechenregeln, die du für Logarithmen aus dem Reellen kennst, einfach so auch für den komplexen Logarithmus voraussetzen darfst - diese Regeln gelten in

ℂ

oft nicht!

\to

de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Komplexer_Logarithmus

\to

duckduckgo.com/?q=koplexer+Logarithmus

Sukomaki aktiv_icon

20:55 Uhr, 05.01.2017

--> 1) Wenn du den natürlichen Logarithmus meinst, dann musst du
--> ln schreiben und nicht log

Ich meine schon einen beliebigen Logarithmus

--> 3) Dem Wunsch nach Eindeutigkeit kann entsprochen werden, indem man sich auf den
--> sog. Hauptwert beschränkt, welcher durch

- \frac{π}{2} < I m (y) \leq \frac{π}{2}

gekennzeichnet ist.

Müsste es nicht

- π < I m (y) \leq π

heißen?

--> 4) Beachte, das du nicht alle bekannten Rechenregeln, die du für Logarithmen aus dem
--> Reellen kennst, einfach so auch für den komplexen Logarithmus voraussetzen darfst
--> diese Regeln gelten in ℂ oft nicht!

Deswegen frage ich ja nach dem Gültigkeitsbereich der Logarithmus-Gesetze.

Für welche

a, b \in ℂ

gilt :
I)

\log (a \cdot b) = \log (a) + \log (b)

II)

\log (\frac{a}{b}) = \log (a) - \log (b)

III)

b \cdot \log (a) = \log (a^{b})

?

Gruß
Maki76

Roman-22

21:25 Uhr, 05.01.2017

>

Ich meine schon einen beliebigen Logarithmus
Dann aber ist dei

i \cdot π

falsch, denn das gilt nur beim natürlichen Log.

>

Müsste es nicht -π<Im(y)≤π heißen?
Ja, da hast du natürlich Recht - das war gedankenlos von mir. Hab eben oben auch eine entsprechende Korrektur angebracht.

>

Für welche

a

,b∈ℂ gilt
Na, mit Sicherheit zunächst mal nur für

a, b \in ℝ^{+}

.
Ansonsten kann man nur sagen, dass zB eine Regel wie

ln (a \cdot b) = ln (a) + ln (b)

für die Hauptwerte des komplexen Logarithmus

i . a

. NICHT gilt.
Das bedeutet ja nicht, dass es nicht genügend

a, b \in ℂ

gäbe, bei denen dieser Zusammenhang zwischen den Hauptwerten doch besteht, aber als allgemeine Regel taugt es eben nicht.
Und ich denke, es ist müßig, sich Einschränkungen zu überlegen (wie zb die auf Re(..)>0), wie a und

b

und auch ihr Zusammenhang aussehen müsste, damit die eine oder die andere Regel dann doch mal gilt. Wenn, dann müsste man versuchen, die Regeln neu herzuleiten und bei jedem Schritt beachten, welche Einschränkungen vorauszusetzen sind.

Sukomaki aktiv_icon

22:06 Uhr, 05.01.2017

>> Ich meine schon einen beliebigen Logarithmus
> Dann aber ist dei i⋅π falsch, denn das gilt nur beim natürlichen Log.
Da hast Du Recht. Also, vergiß den beliebigen Logarithmus. Ich gehe
von dem Logarithmus naturalis aus.

Schade, dass es für den Gültigkeitsbereich keine Regel gibt.

Vielleicht wäre es ein Ansatz,

a

und

b

in Polarform zu schreiben :

a := r_{a} \cdot e^{i \cdot φ_{a}}

b := r_{b} \cdot e^{i \cdot φ_{b}}

.

Dann ist

\ln (a \cdot b) = \ln (r_{a}) + \ln (r_{b}) + i \cdot (φ_{a} + φ_{b})

Die reellen Summanden sind harmlos. Wie ist es, wenn nun
I)

φ_{a} + φ_{b} = 2 π \cdot f r a c (\frac{φ_{a} + φ_{b}}{2 π})

mit

f r a c := x \to x - [x]

? (siehe Anhang)

Wenn I) erfüllt ist, ist dann

\ln (a \cdot b) = \ln (a) + \ln (b)

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