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Logarithmus Gleichung mit unterschiedlicher Basis

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Auflösen, Gleichungen, Logarithmus

schwerdy aktiv_icon

11:15 Uhr, 04.02.2009

Hallo Zusammen,

ich hab hier eine Gleichung die ich nicht lösen kann. Vieleicht hat ja jemand von euch eine Idee wie's weitergehen könnte:

log 2 (x) = log 3 (2 x)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

mathos aktiv_icon

11:19 Uhr, 04.02.2009

Hi,
man kann auf eine andere Basis kommen:

l o g_{2} (x) = \frac{l o g x}{l o g 2}

l o g_{3} (2 x) = \frac{l o g 2 x}{l o g 3}

Mit log meine ich den Logarithmus zur Basis 10. Man kann aber auch jeden anderen nehmen.
Kommst du dann weiter?

mathos aktiv_icon

11:28 Uhr, 04.02.2009

Endergebnis:

x = \frac{l o g 4}{l o g 3 - l o g 2}

Gruß mathos

schwerdy aktiv_icon

12:29 Uhr, 04.02.2009

Danke erstmal!
Das mit der Basisumrechnung kenn ich und hab ich auch versucht, aber ich verstehe trotzdem nicht, wie du auf das Endergebnis kommst.

Bei mir schaut das so aus:

log 2 (x) = log 3 (2 x)

\frac{log 3 (x)}{log 3 (2)} = log 3 (2 x)

log 3 (x) = log 3 (2 x) \cdot log 3 (2)

log 3 (x) = log 3 ({(2 x)}^{log 3 (2)})

x = {(2 x)}^{log 3 (2)}

irgendwie komm ich da nicht weiter....

HP7289 aktiv_icon

14:01 Uhr, 04.02.2009

{log}_{2} (x) = {log}_{3} (2 x)

{log}_{2} (x) = \frac{{log}_{2} (2 x)}{{log}_{2} (3)}

{log}_{2} (x) = \frac{{log}_{2} (2) + {log}_{2} (x)}{{log}_{2} (3)}

{log}_{2} (x) = \frac{1 + {log}_{2} (x)}{{log}_{2} (3)}

{log}_{2} (x) - \frac{{log}_{2} (x)}{{log}_{2} (3)} = \frac{1}{{log}_{2} (3)}

(1 - \frac{1}{{log}_{2} (3)}) \cdot {log}_{2} (x) = \frac{1}{{log}_{2} (3)}

{log}_{2} (x) = \frac{1}{{log}_{2} (3)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{{log}_{2} (3)}}

{log}_{2} (x) = \frac{1}{{log}_{2} (3)} \cdot \frac{{log}_{2} (3)}{{log}_{2} (3) - 1}

{log}_{2} (x) = \frac{1}{{log}_{2} (3) - 1}

x = 2^{\frac{1}{{log}_{2} (3) - 1}}

Vielleicht kann man die Lösung noch eleganter schreiben.

schwerdy aktiv_icon

14:22 Uhr, 04.02.2009

Super!
Habs verstanden, vielen Dank!

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