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Logarithmus Zweige

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, Komplexe Funktion, Logarithmus

fancyf

14:23 Uhr, 25.05.2020

Hallo, ich habe die folgende Aufgabe:

Sei

G =

{

x ∈

R : | x |

≥

1}

.
Bestimmen Sie eine Funktion

f

∈

O (G)

mit

f^{2} (z) = z^{2}

− 1 und

f (0) = i

.
Hinweis: Schreiben Sie

z^{2}

−

1 = (z + 1) (z

−

1)

und experimentieren Sie mit geeigneten Zweigen des Logarithmus von

z

± 1. Beachten Sie, daß

e^{\frac{w}{2}}

eine Wurzel von

e^{w}

ist.
Zur Erinnerung: Unter einem Zweig des Logarithmus versteht man
eine auf einer geschlitzen Ebene definierte Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Ein Beispiel
ist der sogenannte Hauptzweig logz:= log(r)+iφ mit−π<φ<π auf C\

{

x∈R: x≤0}, wobei z=r*e^(i*φ)

Trotz der gegebenen Tipps weiß ich leider nicht wie ich starten soll, da ich auch leider nicht ganz verstehe, wie man den richtigen Zweig des Logarithmus auswählt.

Danke im Voraus, falls mir jemand helfen kann!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

14:58 Uhr, 25.05.2020

Du kannst zuerst mal irgendeine Zweige nehmen. Nimm einen Zweig für

\ln (z - 1)

und einen für

\ln (z + 1)

. Da hast du viele Optionen, darfst nur durch die Punkte 1 und -1 nicht.
Und am Ende nutze die Bedingung im Punkt

0

fancyf

16:44 Uhr, 25.05.2020

Leider besteht genau bei dem ersten Schritt das Problem. Ich weiß überhaupt nicht wie ich ln(z-1) umschreiben könnte und woran ich dann erkenne, dass ich 1 nicht schneide.

Intuitiv hätte ich jetzt wie im Hauptzweig entsprechend

l n (z - 1) = l n ∣ z - 1 ∣ + i * a r g (z - 1) + 2 k π * i

geschrieben.
Mit der e-Funktion auf die ganze Funktion angewendet wäre das:

e^{l n ∣ z + 1 ∣} + e^{i * a r g (z + 1)} + 1 + e^{l n ∣ z - 1 ∣} + e^{i * a r g (z + 1)} + 1

also

∣ z + 1 ∣ + e^{i * a r g (z + 1)} + ∣ z - 1 ∣ + e^{i * a r g (z - 1)} + 2

Dann die Wurzel gezogen

\pm \sqrt{} ∣ z + 1 ∣ + e^{i * a r g (z + 1) / 2} \pm \sqrt{} ∣ z - 1 ∣ + e^{i * a r g (z - 1) / 2} + \sqrt{} 2

Dann f(0) eingesetzt:

\pm 1 + 1 \pm 1 + e^{i * π / 2} + \sqrt{} 2

Aber ergibt ja nicht i und hängt davon ab welche Wurzel man nimmt, deshalb geh ich davon aus, dass schon mal Ansatz falsch ist, bzw. zu einfach gedacht, aber ich weiß leider nicht, wie ich es anders machen kann.

DrBoogie aktiv_icon

18:09 Uhr, 25.05.2020

Wir suchen eine

f

, die im Einheitskreis holomorph ist und

f^{2} = z^{2} - 1

erfüllt. Und wir wollen das über Log erreichen. Damit brauchen wir einen Zweig von Log, bei dem der Schlitz die Menge

{z^{2} - 1 : z \in {∣ z ∣ < 1}}

nicht schneidet. Diese Menge liegt im Kreis links von

0

, daher kann man diesen Schlitz nehmen:

{z : R e (z) > 0, I m (z) = 0}

(also reelle Achse). Jetzt nehmen wir also Log-Zweig auf

{ℂ \ {z : R e (z) > 0, I m (z) = 0}}

, definiert durch

\ln (z) = \ln ∣ z ∣ + i \arg (z)

.

Wenn wir jetzt

f

als

\exp (w / 2)

mit

w = \ln (z + 1) + \ln (z - 1)

definieren, dann haben wir

w (0) = \ln (1) + \ln (- 1) = i \arg (1) + i \arg (- 1) = i π

w (0) / 2 = i π / 2

und daher

f (0) = \exp (i π / 2) = i

. Das ist alles.

fancyf

18:14 Uhr, 25.05.2020

Achso! Jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank!

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