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Logarithmus auf beiden Seiten entfernen

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Aufgabe, Logarithmus

TermX aktiv_icon

13:19 Uhr, 19.09.2015

Hi,
ich habe folgende Gleichung, die ich nach

x

auflösen will.

log (x^{2}) = log (25)

Jetzt könnte ich doch auf beiden Seiten: "10 hoch" rechnen.

10^{log (x^{2})} = 10^{log (25)}

Damit kürzt sich ja "10 hoch log" weg.

x^{2} = 25

x = 5

x = - 5

Wäre das so richtig argumentiert?

Mann könnte ja auch sagen, ich dividiere beides mal durch log.
Das wäre aber falsch argumentiert, oder?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

SinaAnna aktiv_icon

13:21 Uhr, 19.09.2015

ja und ja

ist alles so richtig wie du sagst

lg

TermX aktiv_icon

13:45 Uhr, 19.09.2015

Ok,
danke für deine schnelle Antwort. :-)

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14:13 Uhr, 19.09.2015

Du brauchst eigentlich nur die Argumente zu vergleichen. logarithmieren ist nicht notwendig.

Roman-22

19:31 Uhr, 19.09.2015

>

ist alles so richtig wie du sagst
Naja, so wie TermX es "sagt", ist es nicht ganz OK.

>

Damit kürzt sich ja "10 hoch log"
Nein!! Da kürzt sich gar nix. Da ist doch nirgendwo ein Bruch! Was du meinst ist, dass

10^{l g (A)} = A

gilt, da lg(...) und

10^{(...)}

zueinander Umkehrfunktionen sind. Die Hintereinanderschaltung der beiden hebt sich also auf.

Außerdem:

10^{log (x)}

hebt sich nicht auf, den

log (x)

ist nicht der Zehnerlogaritmus - dessen Bezeichnung ist immer noch lg(x).

log (x)

gibts also streng genommen gar nicht, bestenfalls

{log}_{a} (x)

mit

a \in ℝ^{+} \ {1}

.

Aber auch die Gleichung

{log}_{a} (x^{2}) = {log}_{a} (25)

lässt sich (mit

a^{(...)})

x^{2} = 25

umformen.

>

Du brauchst eigentlich nur die Argumente zu vergleichen. logarithmieren ist nicht notwendig.
@ supporter: TermX hat ja auch gar nicht logarithmiert. Im Gegenteil, er/sie hat entlogarithmiert.
Und beim Vergleich der Argumente bei Logarithmen gleicher Basis steckt dieses Entlogarithmieren ja implizit auch drinnen. Der Unterschied wäre nur, dass man den Zwischenschritt nicht anschreibt und man dafür verbal argumentieren müsste, dass man verwendet, dass zwei Logarithmen gleicher Basis genau dann gleich sind, wenn ihre Argumente gleich sind. In Summe wäre das mühsamer.

R

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20:10 Uhr, 19.09.2015

Danke Roman, ich meinte natürlich entlogarithmieren.
Aber es würde genügen hinzuschreiben:

Argumentevergleich

: . .

.

:-))

TermX aktiv_icon

13:49 Uhr, 20.09.2015

Danke für eure Richtigstellung.

Im Prinzip meinte ich das von Roman - hab halt den falschen Ausdruck (kürzen statt entlogarithmieren) verwendet.

@Roman:
Bist du dir sicher, dass es

log (x)

nicht gibt bzw. dass das nicht der 10er Logarithmus ist?
Wir haben das bis jetzt immer so abgekürzt und auf meinem Taschenrechner steht auch "log" für den 10er Logarithmus.
Aber ich denke das ist halt Definitionssache.

Danke für alle Antworten ;-).

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13:57 Uhr, 20.09.2015

Hier herrscht ein ziemliches Durcheinander:

Es kommt vor:

log = {log}_{e}

mit der Basis

e

(Eulersche Zahl)

l n = {log}_{e}

l g = {log}_{10}

log = {log}_{10}

l d = {log}_{2}

Bei meinem TR gilt Taste

log = {log}_{10}

Roman-22

14:57 Uhr, 20.09.2015

>

Hier herrscht ein ziemliches Durcheinander:
Leicht zu vermeiden, wenn man sich daran hält, log ohne Basisangabe nie zu verwenden. Es gibt keinen allgemeinen Konsens oder gar eine verbindliche Definition was die alleinige Bezeichnung log betrifft.
Alternative ist bei jeder Publikation, vor jeder Rechnung und dann eben auch vor jeder hier gestellten Frage explizit log(x):=lg(x) zu definieren. Da könnte man aber auch gleich hansi(x):=lg(x) definieren, wäre irgendwie familiärer.

Sonst gilt eben defintiv

log \neq {log}_{10}

Die Beschriftung der Tasten eines Taschenrechners ist keine akzeptable und natürlich in keinster Weise verbindliche Referenz.
Auf deinem TR steht ja vermutlich auch

{sin}^{- 1}

und nicht korrekt arcsin.

"

log

" steht auf einer Stufe mit "

{sin}^{- 1}

" oder "aufleiten"
Diese Bezeichnungen sind einfach nicht zu verwenden. Die Tatsache, dass man trotzdem immer wieder auf sie trifft, macht die Sache weder besser noch "richtiger".

Im englisch-sprachlichen Raum wird log sehr häufig für den natürlichen Logarithmus verwendet. Aber nicht durchgehend - manchmal, aber eher seltener, durchaus auch für den dekadischen Logarithmus. In unserem Sprachraum ist mit log eher häufiger der dekadische Logarithmus gemeint und es ist absolut unverständlich, warum dann nicht die gültige und sogar um ein Zeichen kürzere korrekte Bezeichnung lg zur Anwendung kommt und dadurch Irritationen und Mehrdeutigkeiten klar vermieden werden.

Fazit: Es ist keinesfalls

log

ohne Angabe einer Basis zu verwenden! Ausnahme ist hier vielleicht eine allgemeine Formulierung etwa von Rechengesetzen wie

log (x \cdot y) = log (x) + log (y),

bei der log eben einen Logarithmus beliebiger Basis bezeichnet.

Um deine Liste zu komplettieren: Der Binärlogarithmus (logarithmus dualis) leistet sich den sogar Luxus zweier Abkürzungen und so ist

{log}_{2} (x) = l d (x) = l b (x)

. Beide Bezeichnungen sind zulässig und eindeutig, wenngleich nur

l b (x)

die normgerechte Bezeichnung ist.

Für Interessierte: Die zugehörigen Normen sind die DIN-1302 bzw. die ISO

31 - 11

.
Dort ist

u . a

. auch zu lesen: "auch $log x$ ist zulässig, wenn die Basis getrennt vereinbart wird" Also wie eingangs geschrieben - man kann

log (x)

nur dann verwenden, wenn man vorher definiert, was man damit meint.
In Begleittexten und Kommentaren zu diesen Normen ist auch zu lesen, dass

ln (x) := {log}_{e} (x)

so festgelegt wird, obwohl in der reinen(?) Mathematik üblicherweise(?)

log (x)

für den logarithmus naturalis geschrieben wird.
Und die ISO

31 - 11

meint

Manchmal wärs also durchaus sinnvoll, sich an die Normen zu halten.

R

EDIT: Vielleicht für manche von euch von Interesse: directorymathsed.net/download/Paditz.pdf

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