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Logarithmus auflösen, Definitionsbereich

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Logarithmus, zahlenpaare, Zielmenge Definitionsintervall

Lexiii92 aktiv_icon

10:58 Uhr, 01.11.2014

Hey guten Morgen!

Es sei im weiteren eine Basis

a \in (1, \infty)

vorgegeben.

a)

Geben Sie die Menge aller Zahenpaare

(x, y) \in ℝ^{2},

für die Gleichung

y = \frac{1}{2} \cdot l o g_{a} (\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})

sinnvoll defniert ist, an!

Lösen Sie für jede sinnvolle Vorgabe von

y

(falls möglich nach

x

auf! Skizzieren Sie anschließend beispielhaft für

a = 2

die Menge aller

(x, y)

für die die Gleichung erfüllt ist.

b)

Geben Sie das großtmögliche Definitionsintervall

D \subseteq ℝ

mit

\frac{1}{2} \in D

und eine geeignete Zielmenge

W \subseteq ℝ

an, dass

f : D \to W

durch

f (x) := \frac{1}{2} \cdot l o g_{a} (\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})

wobei

(x \in D)

eine wohldefinierte, bijektive Abbildung beschreibt, Wie lautet die Funktionsvorschrift für

f^{- 1} : W \to D

?

Eine frage vorab. Wie zeichne ich mir diese Dinge schnell?

Es ist doch sinnvoll definiert für:

x \neq \pm 1

und wie komme ich an das

y

heran? ich meine ich weiß ungefähr wie der

ln

verläuft aber wie bestimmt ich den Bereich für y?

y = \frac{1}{2} \cdot l o g_{a} (\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})

2 y = l o g_{a} (\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})

2 y = l o g_{a} (\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})

a^{2 y} = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

auflösen geht gar nicht? Also ich versuche mich seit 30min. - Ausklammern,

+ 1 - 1

hinzufügen, aber nichts dergleichen klappt.

Zeichnen macht Probleme für

a = 2

weil die Wertetabelle error anzeigt:(

Bei

b)

weiß ich nicht genau was sie von mir wollen mit

\frac{1}{2} \in D

großtmögliche Definitionsintervall. Wieso für

\frac{1}{2}

? Das spuckt doch einen konkreten Wert aus?

Die verzweifelte Lexi, dankt im Voraus allen Helfern!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

rundblick aktiv_icon

12:05 Uhr, 01.11.2014

f (x) = \frac{1}{2} \cdot {log}_{a} (\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})

"
Es ist doch sinnvoll definiert für:
x≠±1
"

... ...

. echt?

hast du dir auch Gedanken gemacht zB über mögliche Vorzeichen vom Argument

\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

(für

x

durchläuft ganz

R)

anonymous

12:07 Uhr, 01.11.2014

Hallo

1)

zum Definitionsbereich:

a^{2 \cdot y}

ist stets größer als Null.
Für welche Definitionsmenge von

x

gilt dann die Gleichheit:

a^{2 \cdot y} = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

2)

explizites Auflösen nach

x :

a^{2 \cdot y} = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

a^{2 \cdot y} \cdot (1 - x^{2}) = (1 + x^{2})

a^{2 \cdot y} - a^{2 \cdot y} \cdot x^{2} = 1 + x^{2}

a^{2 \cdot y} - 1 = x^{2} + a^{2 \cdot y} \cdot x^{2}

a^{2 \cdot y} - 1 = x^{2} \cdot (1 + a^{2 \cdot y})

x^{2} = \frac{a^{2 \cdot y} - 1}{1 + a^{2 \cdot y}}

3)

Tip: Kennst du hyperbolische Funktionen?

Lexiii92 aktiv_icon

12:12 Uhr, 01.11.2014

Oh weia ich hab was ganz anderes betrachtet als ich hingeschrieben habe auf meiner Nebennotiz. Ja das ist natürlich kompletter Unfug. Sry.

Das ist ja für ganz

ℝ

nicht sinnvoll definiert also

\forall x \in ℝ!

Für

x \pm 1

darf man ja nicht durch Null teilen, und negativ darf das Argument auch nicht sein, was aber der Fall ist. Sprich nur für

x = 0

ist es sinvoll, weil dann der

ln

bei

y

Null wird.

Ich könnte aber

- x^{2} + 1 = - [(x + 1) \cdot (x - 1)]

schreiben. Jetzt nicht für die erste Aufgabe von Nutzen aber für später.

Lexi

anonymous

19:10 Uhr, 01.11.2014

Liebe junge Dame.
Das was du schreibst ist ziemlich unverständlich und wirr.
Willst du dich und mich und uns verwirren? Oder willst du systematisch arbeiten?
Wir waren vermutlich stehen geblieben bei:

1)

Wenn

a^{2 \cdot y}

größer als Null ist, für welche Definitionsmenge ist dann:

a^{2 \cdot y} = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

Lexiii92 aktiv_icon

21:13 Uhr, 02.11.2014

Entschuldige ich bin eine duselige Kuh.

Die Definitionsmenge ist

ℝ

und die Zielmenge ist doch nur

ℝ_{+}

Aber man sollte doch immer "direkt" die Mengen bestimmen, weil sich ggf durch Umformungen der Bereich ändert?

Ja Sinus- und Cosinushyperbolicus.

Lexi

abakus

21:27 Uhr, 02.11.2014

Hallo,
der Term

\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

läuft für äußerst viele reelle Zahlen x Gefahr, negativ zu werden!!!
Die Definitionsmenge ist kleiner als du denkst.

Lexiii92 aktiv_icon

21:29 Uhr, 02.11.2014

Ja so für ziemlich alle Zahlen außer 1. Aber dann ist die Funktion doch nicht wirklich sinnvoll. Bei

\pm 1

ist sie nicht definiert und

hm kleiner als ich denke stimmt

0 \leq x < 1

dann ist es nur sinnvoll, weil der

l o g

positiv ist.

anonymous

21:51 Uhr, 02.11.2014

Hallo Lexiii
Bitte etwas mehr Konzentration!

"Die Definitionsmenge ist \RR"
Nein, das ist falsch.
Und ich weiß auch nicht, wie du darauf kommst, weil du deine Begründung nicht sehr verständlich machst.

Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole...
Um die Definitionsmenge zu bestimmen, werden wir, wirst du untersuchen müssen, wann die Gleichung

a^{2 \cdot y} = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

erfüllbar ist.
Ich betone jetzt schon zum dritten Mal, dass a^irgendwas nur größer als Null sein kann.
Also muss auch der rechte Ausdruck, der Bruchausdrucks größer als Null sein.
Gast62 gab dir auch den Tip, dass der Term zwar für einige Werte

x

negativ werden kann. Ich kann dir aber versichern, es sind auch unendlich viele, für die der Quotient positiv

(d . h

. größer als Null) ist.
Wenn du endlich untersuchen und benennen willst, welche dies sind, dann hätten wir endlich die Definitionsmenge.

Ein Tip noch:
Der Bruch besteht aus Zähler und Nenner.

a)

Kann man eine Aussage über das Vorzeichen des Zählers tätigen?

b)

Welches Vorzeichen muss demnach der Nenner haben?

c)

In welchem Bereich ist dies zutreffend?

PS:
"ja sinus- und Cosinushyperbolicus"
soll wohl heissen: ja, ich kenne Hyperbolische Funktionen.
Tip hierzu: der Tangenshyperbolicus könnte dir weiter helfen...

Aber lass dich jetzt nicht verwirren. Eines nach dem anderen...

Lexiii92 aktiv_icon

22:16 Uhr, 02.11.2014

Also die Definitionsmenge muss wie in meinem letzten Post erwähnt

0 \leq x < 1

sein.

Yokozuna aktiv_icon

23:19 Uhr, 02.11.2014

Nein, Deine Antwort ist nur die halbe Wahrheit, gewissermaßen.

Viele Grüße
Yokozuna

Lexiii92 aktiv_icon

23:23 Uhr, 02.11.2014

Gewissermaßen?

Yokozuna aktiv_icon

23:30 Uhr, 02.11.2014

Ja, der Bereich

0 \leq x < 1

ist nur eine Teilmenge der Definitionsmenge. Wenn Du den noch fehlenden Teil gefunden hast, wird Dir vielleicht klar, was ich mit meiner letzten Antwort gemeint habe.

Lexiii92 aktiv_icon

00:01 Uhr, 03.11.2014

Ja du meinst die Zielmenge? Die ist

ℝ

Yokozuna aktiv_icon

00:20 Uhr, 03.11.2014

Wenn Du mit Zielmenge den Wertebereich meinst, der ist auch nicht gleich

ℝ

.

Aber bevor wir über den Wertebereich spekulieren, sollten wir doch zuerst mal versuchen, den Definitionsbereich zu ermitteln und bei meinen beiden vorhergehenden Antworten ging es nur um den Definitionsbereich.

Du solltest auch mal genau lesen, was man Dir schreibt. Cositan hat Dir in Ihrem Beitrag von

21 : 51

Uhr einen Tip gegeben, bestehend aus 3 Punkten

a), b)

und

c)

. Wenn Du diese drei Punkte der Reihe nach beantwortest, solltest Du den Definitionsbereich ermitteln können und ich gehe mal davon aus, dass Du weißt, dass das Argument des Logarithmus immer größer Null sein muss.

Viele Grüße
Yokozuna

Lexiii92 aktiv_icon

00:43 Uhr, 03.11.2014

a)

Zähler ist immer positiv

b)

Nenner muss positiv sein und dieser wird es wenn

0 \leq x < 1

gilt.

Wenn das erfüllt ist dann wird das Argument insgesamt nicht negativ.

Yokozuna aktiv_icon

00:51 Uhr, 03.11.2014

Die Antwort auf die Frage

b)

ist falsch (bzw. nicht vollständig, siehe meinen Beitrag oben)!

Wann gilt

1 - x^{2} = (1 - x) \cdot (1 + x) > 0

?

Wann ist ein Produkt von 2 Zahlen positiv?

Tipp: Fallunterscheidungen

(2

Fälle)

Lexiii92 aktiv_icon

01:02 Uhr, 03.11.2014

Nun ja ein Produkt aus zwei Zahlen kann nur positiv sein wenn beide Zahlen positiv oder negativ sind.

Fallunterscheidung ist nicht so mein Ding

: (

(1 - x) \cdot (1 + x) > 0

einmal für

x > 0

und

x < 0

Ich weiß nicht wie ich das anstellen soll.

für die Fallunterscheidung muss auch noch gelten, dass

x \neq 1 \neq - 1

ist.

für

x > 0

wird der Term insgesamt positiv
und für

x < 0

wird der Term auch positiv

im Intervall

- 1 < x < 1

Yokozuna aktiv_icon

01:19 Uhr, 03.11.2014

Die Fallunterscheidung ist nicht schwierig:

1. Fall: Beide Zahlen sind positiv, also

1 - x > 0

und

1 + x > 0 \Rightarrow x < 1

und

x > - 1

insgesamt

- 1 < x < 1

2.Fall: Beide Zahlen sind negativ, also

1 - x < 0

und

1 + x < 0 \Rightarrow x > 1

und

x < - 1,

das ergibt die leere Menge, denn

x

kann ja nicht gleichzeitig

> 1

und

< - 1

sein.

Es sieht also so aus, als hätten wir den Definitionsbereich gefunden:

D = {x | - 1 < x < 1}

In meiner ersten Antwort wollte ich Dir mit den Worten "halbe Wahrheit" einen Hinweis geben, dass Du nur den halben Definitionsbereich gefunden hattest.

So wie geht's jetzt weiter? Wertebereich?

Lexiii92 aktiv_icon

09:07 Uhr, 03.11.2014

Sorry ich bin irgendwann weggenickt. Mein Pc lief auch noch die ganze Nacht

: 0

Ja wie bestimme ich den Wertebereich konkret, Sind eig Wertebereich und Zielmenge Synonyme und was ist noch die Bildmenge?

Ich schweife ab, nun

y = ln (x)

nimmt in der Wertemenge/Wertebereich ganz

ℝ

an. Jetzt ist unsere Fuunktion "ein wenig" anders und ich weiß nicht was der Wertebereich sein soll, wenn nicht

ℝ

. Aber es wurde ja schon gesagt, dass der Wertebereich nicht ganz

ℝ

ist.

Da unser

l o g

erstmal nicht negativ werden kann darf könnte der Wertebereich

y \geq 0

sein, aber meine Begründung ist schwammig, jedenfalls würde das Gegenteil

y \leq 0

keinen Sinn machen.

Lexi

Yokozuna aktiv_icon

10:59 Uhr, 03.11.2014

"... könnte der Wertebereich

y \geq 0

sein, aber meine Begründung ist schwammig, jedenfalls würde das Gegenteil

y \leq 0

keinen Sinn machen."

Bei Dir ist in der Tat alles sehr schwammig. Mathematik ist doch kein Ratespiel. Im übrigen ist das Gegenteil von

y \geq 0

nicht

y \leq 0

sondern

y < 0

. Das ist jetzt zwar scheinbar nur eine Kleinigkeit, aber in der Mathematik muss man schon genau arbeiten.

Zur Ermittlung des Wertebereichs würde ich

\frac{1}{2} \cdot log (\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})

als ineinander geschachtelte Funktion

f (g (x))

betrachten mit

f (u) = \frac{1}{2} \cdot log (u)

und

g (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

. Den Definitionsbereich von

g

haben wir ja jetzt:

D_{g =} {x | - 1 < x < 1}

. Als ersten Schritt würde ich erst mal versuchen, den Wertebereich von

g (x)

herauszufinden. Da der Wertebereich von

g

gleichzeitig der Definitionsbereich von

f

ist, wäre der zweite Schritt, den Wertebereich von

f

herauszufinden, wenn man den Definitionsbereich von

f (=

Wertebereich von

g)

erst mal hat.

Also, welche Werte kann

g (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

für

- 1 < x < 1

annehmen. Dass

\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}} > 0

gelten muss, ist ja klar, da sonst der Logarithmus nicht definiert ist. Aber das geht schon noch ein bischen genauer.

Viele Grüße
Yokozuna

Edit: Ich habe der Vollständigkeit halber noch den Faktor

\frac{1}{2}

vor dem log hinzugefügt, weil der bei der eigentlichen Aufgabenstellung auch vorhanden ist.

Lexiii92 aktiv_icon

00:14 Uhr, 04.11.2014

Nun ja egal was ich für Werte bei

\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}

einsetze es kommt immer

y \geq 1

heraus.
Setze ich Null ein kommt gerade eins heraus.
Setze ich jede beliebige rationale Zahl ein, dann ist es auch größer 1.

Ja ich bin halt nicht gut, aber ich versuche meine Defizite durch Fleiß aufzuholen, aber das klappt nicht immer... daher bin ich auch jetzt nicht im Bett...

Und

\frac{1}{2} l o g (x)

hat den Wertebereich

ℝ,

aber was gibt dann in der Summe den Wertebereich der verketteten Funktion?

Yokozuna aktiv_icon

01:31 Uhr, 04.11.2014

Gut, wenn also für

- 1 < x < 1

immer

\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}} \geq 1

gilt, welche Werte kann dann

\frac{1}{2} \cdot {log}_{a} (\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})

annehmen? Schau Dir den Funktionsverlauf der Logarithmusfunktion an (egal von welcher Basis). Welche Werte hat

log (u)

für

u \geq 1

Lexiii92 aktiv_icon

09:22 Uhr, 04.11.2014

l o g (u)

hat für Werte

u \geq 1

im Endeffekt den Wertebereich

y \geq 0,

da bei

u = 1

dann die Nullstelle ist und dann wächst er langsam, aber man kann alle nicht negativen reellen Zahlen damit "abklappern" bzw. benutzen.

Bei

b)

ist das größtmögliche Definitionsintervall

D \subseteq ℝ

angeben und dazu eine geeignete Zielmenge.

Was hat es eig mit dem

\frac{1}{2} \in D

auf sich? Ich sehe nicht ganz den Unterschied zu Aufgabenteil

a)

dort wurde ja quasi das Definitionsintervall indirekt bestimmt, durch das Bestimmen, wann die Funktion sinnvoll definiert ist?

Vielen Dank

Lexi

anonymous

12:25 Uhr, 04.11.2014

Hallo
Der Teilausdruck

\frac{1}{2} \in D

macht nicht wirklich Sinn.
Hast du den richtig abgeschrieben?

Sinn machen die Aufgabenstellungen:

>

Geben Sie das großtmögliche Definitionsintervall

D

an.

>

Geben Sie eine geeignete Zielmenge (Wertemenge)

W

an.

>

Und sowohl

D

als auch

W

sind Teilmenge von

ℝ

Matlog aktiv_icon

13:08 Uhr, 04.11.2014

@ Lexiii92:
Der Unterschied zwischen den Aufgabenteilen

a)

und

b)

besteht darin, dass in Teil

b)

die Funktion bijektiv sein soll!
Dazu muss der Definitionsbereich geeignet verkleinert werden.

@ cositan:
Der Sinn von

\frac{1}{2} \in D

liegt darin, die Lösung von Aufgabenteil

b)

eindeutig zu machen.

Lexiii92 aktiv_icon

13:56 Uhr, 04.11.2014

Ja ich die Aufgabenstellung ist so richtig. Kann sie nochmal gleich einscannen.
Aber was sagt mir jetzt

\frac{1}{2} \in D

? Dass

\frac{1}{2}

im Definitionsintervall liegt?

Tue ich mich darin schwer dies bijektiv zu machen, weil ich nicht wirklich weiß wie ich das anstellen soll. Ich muss das Intervall geeignet wählen damit die Bedingung für Bijektivität erfüllt ist. Bijektiv ist ja Injektivität plus Surjektivität, sprich

zu jedem

y \in Y

existiert genau ein

x \in X

sodass

f (x) = y

gilt.

Lexi

Matlog aktiv_icon

14:07 Uhr, 04.11.2014

Ja, Du sollst ein Definitionsintervall angeben, das maximale Größe hat und so, dass

f

bijektiv ist und

\frac{1}{2}

im Definitionsintervall drin liegt.

Die Surjektivität ist kein Problem, da Du den Wertebereich der Funktion

f

bereits bestimmt hast.
Aber um die Injektivität musst Du Dich kümmern!
Der Definitionsbereich muss so eingeschränkt werden, dass es keine Punkte mehr gibt, die im Koordinatensystem nebeneinander auf dem Graphen von

f

liegen.

Yokozuna aktiv_icon

14:38 Uhr, 04.11.2014

Du kannst Dir die Funktion mal anschauen. Klicke auf der Startseite von Onlinemathe oben auf den Button "Mathematik-Wissen". Dann steht direkt unter den Buttons "Kurvendiskussion online". Dort klickst Du drauf. Dann kannst Du die Funktion eingeben und Dir zeichnen lassen. Statt dem

{log}_{a}

kannst Du ersatzweise

ln

nehmen.

Wenn man sich das Bild der Funktion mal ansieht, kann man sofort erkennen, dass die Funktion im Bereich

- 1 < x < 1

nicht bijektiv ist. Und vielleicht kann man dann auch erkennen, wie man den Definitionsbereich einschränken muss, damit man eine bijektive Funktion bekommt.

Viele Grüße
Yokozuna

Lexiii92 aktiv_icon

17:56 Uhr, 04.11.2014

"Der Definitionsbereich muss so eingeschränkt werden, dass es keine Punkte mehr gibt, die im Koordinatensystem nebeneinander auf dem Graphen von

f

liegen."

Genau, wie die

ln (x)

Funktion verläuft weiß ich schon, es ist die Umkehrfunktion der e-Funktion sprich die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.

Meine Funktion sieht jetzt so aus (siehe Anhang).

Injektivität würde ich jetzt schaffen, wenn ich jetzt nur den rechten Ast betrachte, sprich den Definitionsbereich wenn ich den Definitionsbereich und den Wertebereich auf

ℝ_{+}

beschränke, dann ist die Funktion bijektiv.

Aber mit den

\frac{1}{2}

? Das liegt doch dann nicht in

D

Sprich ich müsste die Bedingung schaffen

x \geq \frac{1}{2}

Matlog aktiv_icon

18:13 Uhr, 04.11.2014

Die Funktion so einzuschränken, dass nur noch der rechte Ast übrig bleibt, ist genau richtig!
Man hätte natürlich auch den linken Ast nehmen können.
Die Bedingung

\frac{1}{2} \in D

sagt jetzt nur aus, dass

x = \frac{1}{2}

zum Definitionsbereich gehören soll. Also soll man eben den rechten Ast nehmen.

Aber

D = ℝ_{+}

passt natürlich nicht! Hast Du die Erkenntnisse aus

a)

schon wieder vergessen?

Lexiii92 aktiv_icon

18:24 Uhr, 04.11.2014

"Die Bedingung

\frac{1}{2} \in D

sagt jetzt nur aus, dass

x = \frac{1}{2}

zum Definitionsbereich gehören soll. Also soll man eben den rechten Ast nehmen."

Ahh das hat es auf sich. Joa jetzt macht es Sinn.

"Aber

D = ℝ_{+}

passt natürlich nicht! Hast Du die Erkenntnisse aus

a)

schon wieder vergessen?"

Jaein. Es war ja

- 1 < x < 1,

aber wenn wir doch dann den rechten Ast nur betrachten, dann hab ich gedacht es wird zu

[0,1)

? Sprich

0 \leq x < 1

Yokozuna aktiv_icon

18:30 Uhr, 04.11.2014

Grundsätzlich ist es eine gute Idee, nur einen Ast zu betrachten. Du hast Dich jetzt für den rechten Ast entschieden. Möglich wäre aber auch der linke Ast.

An Deiner Art und Weise, einen mathematischen Sachverhalt richtig darzustellen, musst Du wohl noch ganz schön arbeiten:

"... sprich den Definitionsbereich wenn ich den Definitionsbereich und den Wertebereich auf

R +

beschränke ..."

Ich gehe mal davon aus, dass bei Euch die Definition

ℝ_{+}

die Null mit beinhaltet. Dann ist der Wertebereich vor der Beschränkung auf einen der beiden Äste

ℝ_{+}

und er ist nach der Beschränkung

ℝ_{+}

. Der Definitionsbereich ist vor der Beschränkung auf einen der beiden Äste gegeben durch

D = {x | - 1 < x < 1}

. Wenn Du mit "Einschränkung des Definitionsbereichs auf

ℝ_{+}

" meinst

D \cap ℝ_{+},

dann wäre das richtig. Aber dies kann man doch mathematisch viel präziser als D_(rechts)

= {x | 0 \leq x < 1}

beschreiben, da weiß jeder Mathematiker, was gemeint ist.

Schreibe doch einfach noch den Definitionsbereich für den linken Ast auf (den rechten haben wir ja jetzt schon) und dann schau mal in welchem der beiden Definitionsbereiche die Zahl