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Logarithmus/Substitution

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Exponentialgleichung, Logarithmus, Substitution

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Anne10

Anne10 aktiv_icon

11:36 Uhr, 06.01.2013

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Hey :-)

Ich hab ne Frage zu einer Eponentialgleichung:

4^{x} + 2^{x} = \frac{3}{4}

mein Problem ist, dass ich die gerne mit Logarithmus rechnen würde, ich aber bei den Gesetzen überhaupt nicht durchblicke. Das Lösungsbuch machts mit Substitution, die verstehe ich auch, aber ich würde es gerne mit Logarithmus rechnen.
Lösung ist

x = - 1

Mein Ansatz:
x*lg(4)+x*lg(2)=lg(3/4)
und das dann nach

x

auflösen. da kommt aber das falsche raus.
Kann man also nicht Logarithmieren, wenn man ein Plus hat? also müsste ich dann lg(4^x+2^x) machen?
Ich blick da einfach nicht mehr durch, vielleicht kann mir ja jemand helfen

- . -

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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michael777

michael777 aktiv_icon

11:42 Uhr, 06.01.2013

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dein Ansatz ist falsch
bei einer Summe darf man die Summanden nicht einzeln logarithmieren!

ersetze

4^{x}

durch

{(2^{x})}^{2}

dann Subsitution

u = 2^{x}

führt zu einer quadratischen Gleichung

falls es noch unklar ist, warum

4^{x} = {(2^{x})}^{2}

ist:

4^{x} = {(2^{2})}^{x} = 2^{2 x} = {(2^{x})}^{2}

Anne10

Anne10 aktiv_icon

11:46 Uhr, 06.01.2013

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mh okay. Das hab ich mir schon irgendwie gedacht.
Aber wieso darf man dann bei Gleichungen wie

3^{2 x + 1} = 3^{x}

logarithmieren? Das könnte man doch eigentlich auch umformen zu

2^{2 x ...} - 3^{x} = 0

und dann logarithmieren. wieso geht das dann nicht mehr?

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

11:50 Uhr, 06.01.2013

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Bei

3^{2 x + 1} = 3^{x}

brauchst du gar nicht logarithmieren. Da die Basis gleich ist kannst, du die Exponenten gleichsetzen:

2 x + 1 = x

x = - 1

mfG

Atlantik

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michael777

michael777 aktiv_icon

11:51 Uhr, 06.01.2013

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hier ist die Summe im Exponenten

du könntest vorher substituieren, dann wirds vielleicht klarer, warum es geht:

ln (3^{2 x + 1})

Substitution:

u = 2 x + 1

dann logarithmieren:

= ln (3^{u}) = u \cdot ln (3)

resubstituieren:

= (2 x + 1) \cdot ln (3)

die Summe wird als Ganzes behandelt

Anne10

Anne10 aktiv_icon

11:51 Uhr, 06.01.2013

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Ja, aber darum ging es mir nicht.
Wieso kann man das mit Logarithmus rechnen und das andere nicht?

Antwort

michael777

michael777 aktiv_icon

11:54 Uhr, 06.01.2013

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4^{x} + 2^{x}

kann man nicht zu einem Ausdruck zusammenfassen, es bleibt eine Summe

bei

4^{x} \cdot 2^{x}

wäre es dagegen möglich:

4^{x} \cdot 2^{x} = 2^{2 x} \cdot 2^{x} = 2^{3 x}

Anne10

Anne10 aktiv_icon

11:54 Uhr, 06.01.2013

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Aber ich hätte doch, wenn ich das

3^{x}

auf die linke Seite holen würde, eine Differenz und da dürfte ich doch dann auch nicht mehr logarithmieren oder?
also das wäre doch dann

3^{x + 1} - 3^{x} = 0

wieso darf ich da den Logarithmus machen? Weil da dann auf der nderen Seite Null steht und nicht zm Beispiel

\frac{3}{4}

?

Antwort

michael777

michael777 aktiv_icon

11:56 Uhr, 06.01.2013

Antworten

die Umformung bringt nichts
bei der Differenz kannst du nicht logarithmieren, ausserdem ist
der Logarithmus von 0 ist eh nicht definiert

Frage beantwortet

Anne10

Anne10 aktiv_icon

11:58 Uhr, 06.01.2013

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ouh stimmt. Das hab ich ganz vergessen :-D) Dankeschön :-)

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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

12:02 Uhr, 06.01.2013

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Bei

3^{2 x + 1} = 3^{x}

darst du so schreiben:

(2 x + 1) \cdot log 3 = x \cdot log 3 | : log 3

2 x + 1 = x

Das ist dann wieder wie oben beschrieben.

mfG

Atlantik

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