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Logarithmusfunktionen: Terme vereinfachen

Schüler Gymnasium,

Tags: ln e, Term, Vereinfachen

Katharina-

18:08 Uhr, 18.11.2011

Folgende Logarithmusterme habe ich erfolglos versucht zu vereinfachen:

ln \sqrt{e} = {ln e}^{\frac{1}{2}},

ln 3 \sqrt{e} = {ln e}^{\frac{1}{3}},

ln

e²/k=

2 \cdot ln e - ln k

und

ln \sqrt{\frac{e}{3}} = e^{\frac{1}{2}} ln e - ln 3

Kann mir jemand bitte helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Terme aufstellen und gliedern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

Shipwater aktiv_icon

18:14 Uhr, 18.11.2011

ln (x)

und

e^{x}

kehren sich gegenseitig um, also gilt

ln (e^{x}) = x

. Wende das einfach an.
Desweiteren sind die Logarithmengesetze natürlich auch eine Hilfe:
http//de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Logarithmengesetze

Katharina-

18:21 Uhr, 18.11.2011

Danke für den Hinweis, aber ich werde daraus leider nicht schlau. Die Rechengesetze dazu sind zwar einleuchtend, aber manchmal muss man die in einigen Aufgaben kombinieren und da komme ich total durcheinander.
War das was ich vereinfacht habe denn alles totaler Schwachsinn?

DmitriJakov aktiv_icon

18:40 Uhr, 18.11.2011

Was shipwater meinte war: Es war kein Unsinn, aber es war unvollständig. So ist

z . B

ln \sqrt{e}

nicht nur

{ln e}^{\frac{1}{2}},

sondern auch:

ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} ln e = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}

denn

ln (e) = 1

Wende das mal auf Deine anderen Aufgaben an.

Katharina-

19:01 Uhr, 18.11.2011

okay, danke. Das hieße dann:

ln 3 \sqrt{e} = \frac{{ln e}^{1}}{3} = \frac{1}{3} ln e = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}

ln

e²/k=

2 \cdot ln e - ln k = 2 \cdot 1 - 1 = 1

?
Und (das ist bestimmt nicht richtig):

ln \sqrt{\frac{e}{3}} = e^{\frac{1}{2}} ln e - ln 3 = \frac{e^{1}}{2} \cdot 1 - 3

DmitriJakov aktiv_icon

19:13 Uhr, 18.11.2011

nein, denn nur

3 \cdot ln \sqrt{e}

wäre

{ln \sqrt{e}}^{3}

ln (3 \cdot \sqrt{e}) = ln 3 + ln \sqrt{e} = ln 3 + \frac{1}{2}

Und bei lne^2/k weiss ich nicht wann das Argument des

ln

endet. Heisst es

\frac{{ln e}^{2}}{k}

oder heisst es

ln (\frac{e^{2}}{k})

Bei

ln \sqrt{\frac{e^{2}}{3}}

gilt:

= \frac{1}{2} \cdot ln (\frac{e^{2}}{3}) = \frac{1}{2} \cdot ({ln e}^{2} - ln 3) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot ln e - ln 3) = \frac{1}{2} \cdot (2 - ln 3) = 1 - \frac{ln 3}{2}

Shipwater aktiv_icon

19:15 Uhr, 18.11.2011

Offensichtlich ist

ln (\sqrt[3]{e})

gemeint. Und das ist tatsächlich gleich

\frac{1}{3}

Katharina-

19:20 Uhr, 18.11.2011

Okay, dann war es also irgendwie ja doch richtig mit

ln (3 \sqrt{e})

. Danke für eure Hilfe :-)

Shipwater aktiv_icon

19:21 Uhr, 18.11.2011

Kommt drauf an ob jetzt wirklich

ln (\sqrt[3]{e})

gemeint war. ;-)

Katharina-

19:33 Uhr, 18.11.2011

ja, war es ich hab noch mal einen Blick ins Mathebuch geworfen. Super, dann kann ich ja jetzt versuchen ein paar plus Punkte in meiner mündlichen Note zu sammeln. Mathe ist eigentlich nicht so mein Fach ;-)...

Shipwater aktiv_icon

20:03 Uhr, 18.11.2011

Pluspunkte können nie schaden. ;-)

Katharina-

20:14 Uhr, 18.11.2011

Nur noch mal um sicherzugehen, dass ich es verstanden hab:

ln (2 \cdot e^{3})

wären dann laut Rechengesetz

ln (a \cdot b) = ln a + ln b

also

ln 2 + {ln e}^{3} = ln 2 + 1

DmitriJakov aktiv_icon

20:27 Uhr, 18.11.2011

Nein, denn

{ln e}^{3} = 3

Also kommt dann raus:

ln 2 + 3

Katharina-

20:37 Uhr, 18.11.2011

oops ok, aber ich dachte

ln e = 1

und deshalb wäre

{ln e}^{3}; 1^{3} = 1

DmitriJakov aktiv_icon

20:39 Uhr, 18.11.2011

ln e = 1,

das stimmt, aber

ln (e^{3}) = 3 \cdot ln e = 3

Edit: Im Gegensatz zu:

{(ln (e))}^{3} = 1^{3} = 1

Es kommt eben darauf an ob ich das Argument der Funktion manipuliere oder die Funktion als Ganzes.

Katharina-

20:40 Uhr, 18.11.2011

okay, danke!

Shipwater aktiv_icon

21:14 Uhr, 18.11.2011

Den Zwischenschritt über das dritte Logarithmengesetz

ln (e^{3}) = 3 \cdot ln (e) = 3

kannst du zwar machen, aber der ist nicht unbedingt notwendig.

ln (e^{3}) = 3

reicht vollkommen aus, da sich

ln (x)

und

e^{x}

gegenseitig umkehren.

ln (e^{3})

steht (laut Definition) für die Zahl mit der man

e

potenzieren muss, um

e^{3}

zu erhalten. Und das ist natürlich 3.

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