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Logistische Regression nach x auflösen

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Tags: Funktion, Logistische Funktion, Logistische Regression, Regressionsfunktion

maxiwi aktiv_icon

10:19 Uhr, 28.08.2013

Hallo zusammen,

ich möchte eine logistische Regressionsgleichung nach

x

auflösen, um die Position des Wendepunkts herauszubekommen.

Logistische Regression:

y = \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{(a + b \cdot x)}}}

mit

e^{a + b \cdot x}

im Nenner (falls man das nicht so gut erkennen kann), wobei

y = 0.5

a = - 0.0174130

und

b = 0.0010180

ist.

Die Gleichung beschreibt die proportionale Menge an Insekten

(y),

die, wenn sie zu einem bestimmten Zeitpunkt

(x

in Sekunden) mit einem Raubtier-Reiz (Ameisensäure) konfrontiert werden, fliehen.

Bisher habe ich zwei Lösungen, die wenn ich sie überprüfe, aber nicht richtig sein können, weil da ungefähr

- 13

bei herauskommen muss (habe ich mit dem interaktiven Graphen bei Google herausbekommen).

1. Lösungsansatz:

\frac{ln (\frac{y}{1 - y})}{b + a} = x

2. Lösungsansatz:

\frac{ln 2 \cdot y}{a + b} = x

Der 1. Lösungsansatz ist sowieso Banane, weil da ja eine 0 im Zähler bei herauskommt. ;-) Leider ist bei mir das Gleichungenumstellen auch schon wieder 6 Jahre her und ich erinnere mich leider nicht an die richtige Vorgehensweise. Wie macht man es richtig?

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

supporter aktiv_icon

10:57 Uhr, 28.08.2013

x = \frac{ln (\frac{y}{1 - y}) - a}{b}

prodomo aktiv_icon

10:57 Uhr, 28.08.2013

Bin mir nicht sicher, ob das hilfreich ist:
Die Gleichung für logistisches Wachstum wird meist als

y = \frac{A}{1 + B \cdot e^{- k \cdot x}}

geschrieben (Schule). Dafür gilt dann

y'' (x_{w}) = 0

und

x_{w} = \frac{ln (B)}{k}

. Allerdings ist die 2. Ableitung etwas mühsam.

Edddi aktiv_icon

11:01 Uhr, 28.08.2013

y = \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{p}}}

\frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{e^{p}}

\frac{1}{y} - 1 = \frac{1}{e^{p}}

\frac{1 - y}{y} = \frac{1}{e^{p}}

\frac{y}{1 - y} = e^{p}

ln (\frac{y}{1 - y}) = ln (y) - ln (1 - y) = p = a + b \cdot x

ln (\frac{y}{1 - y}) - a = ln (y) - ln (1 - y) - a = b \cdot x

\frac{ln (\frac{y}{1 - y}) - a}{b} = \frac{ln (y) - ln (1 - y) - a}{b} = x

mit

y = \frac{1}{2}

ergibt sich für

ln (\frac{y}{1 - y}) = ln (1) = 0

und somit für

x = - \frac{a}{b}

x = - \frac{- 0,017413}{0,001018} = 17,105 . .

.

;-)

maxiwi aktiv_icon

13:23 Uhr, 28.08.2013

@ Eddi & supporter: Wunderbar, das ist genau, was ich gesucht habe! Das mit dem Umdrehen von Zähler und Nenner sowie der anderen Schreibweise vom natürlichen Log bei Brüchen kommt mir doch sehr bekannt vor. ;-) Vielen Dank für die ausführliche Herleitung! :-)

@ prodomo: Auch vielen Dank für den Tipp mit der 2. Ableitung! Dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin... Beim Stichwort Wendepunkt müssten eigentlich die Alarmglocken klingeln. ;-)
Eine Frage noch zur Gleichung für logistisches Wachstum. Die Formel habe ich beim Durchforsten des Internets auch oft gefunden und habe mich die ganze Zeit gefragt, wofür die Parameter A und

B

stehen. Bei mir ist das

A = 1

und

B

existiert in meiner Gleichung überhaupt nicht...

prodomo aktiv_icon

14:23 Uhr, 28.08.2013

Die Parameter

A, B

und

k

lassen sich über die Grenzfälle deuten. Für

x

gegen

\infty

wird

B \cdot e^{- k \cdot x}

ja zu

0,

also

y = A

. A ist demnach die Grenze, der

y

zustrebt. Setzt man dagegen

x = 0,

so ergibt sich

\frac{A}{1 + B} = y_{0}

. Das ist der Anfangsbestand. Mit einem weiteren Funktionswert lässt sich

k

ermitteln.

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