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Logistisches Wachstum Einstiegsaufgabe

Schüler Gymnasium,

Tags: logistisches Wachstum

Katharina-

14:47 Uhr, 15.01.2012

Liebe Online-Community!,

ich habe die Aufgabe auf mir ein paar Seiten in meinem Mathebuch zum logistischen Wachstum durchzulesen und zu verstehen.
Ich habe mir zur Übung also einmal eine Übungsaufgabe angeschaut:

A (t) = \frac{2}{1 + c \cdot e^{- 1,5 \cdot t}}

beschreibt den Inhalt von einer Schimmelpilzkultur befallenen Fläche

(

in dm²).

T

sind die Tage ab Beobachtungsbeginn.

5 Tage nach Beobachtungsbeginn beträgt der Inhalt der befallenen Fläche

0,4

dm²
Wie groß war die Fläche zu Beginn der Beobachtung und ab welchem Zeitpunkt beträgt der Inhalt

0,1

dm²?

Meine Ansätze und Probleme:
Setze ich die Angaben aus der Aufgabe ein:

\frac{2}{1 + 0,4 \cdot e^{- 1,5 \cdot 5}}

und zeichne den Graph mit dem TR, zeichnet der nur eine Konstante und das muss ja falsch sein.
Was muss ich anders machen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

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14:52 Uhr, 15.01.2012

wenn hier

A (t) = \frac{2}{1 + c e^{- 1,5 t}}

für

t

die 5 tage einsetzt

A (5) = \frac{2}{1 + c e^{- 1,5 \cdot 5}} =

?

dann berechnet dir die formel, wieviel fläche nach 5 tagen befallen ist. aber wir kennen ja das

c

nicht, um das auszurechnen. allerdings ist uns gegeben, was das ergebnis nach 5 tagen ist, naemlich ein befall von

0,4

dm^2 . also

\frac{2}{1 + c e^{- 1,5 \cdot 5}} = 0,4

jetzt kann man erstmal das

c

bestimmen.

Katharina-

15:09 Uhr, 15.01.2012

Irgendwie komme ich da auch nicht weiter:

\frac{2}{1 + c \cdot e^{- 1,5 \cdot 5}} = 0,4 | \cdot 2

1 + c \cdot e^{- 1,5 \cdot 5} = 0,8 | - 1

c \cdot e^{- 1,5 \cdot 5} = - 0,2 | ln

->darf ich ja nicht einsetzen, wegen der negativen Zahl

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15:49 Uhr, 15.01.2012

\frac{2}{1 + c e^{- 1,5 \cdot 5}} = 0,4

2 = 0,4 (1 + c e^{- 1,5 \cdot 5})

\frac{2}{0,4} = 1 + c e^{- 1,5 \cdot 5}

5 - 1 = c e^{- 1,5 \cdot 5}

4 \cdot e^{1,5 \cdot 5} = c

4 \cdot e^{7,5} = c

das setzen wir in die ausgangsgleichung ein und erhalten

A (t) = \frac{2}{1 + 4 e^{7,5} e^{- 1,5 t}}

A (t) = \frac{2}{1 + 4 e^{- 1,5 t + 7,5}}

wie grosse war die befallene flaeche zu beginn, also bei

t

gleich null tage

A (0) =

???

wann war die befallen flaeche

0,1 d m^{2}

A (t) = 0,1

und das ist bei

t =

? der fall

lg

Katharina-

19:14 Uhr, 15.01.2012

Komisch, dass ich beim Eingeben der Funktion

\frac{2}{1,4 e^{- 1,5 \cdot 0 \cdot 7,5}}

bei allen Werten

2,76 \cdot 10^{- 4}

herauskriege!
Das kann doch für

t = 0

nicht sein,oder ?

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10:17 Uhr, 16.01.2012

du hast dich vertippt, es muss ein plus vor der

7,5

stehen und kein mal.

aber da dein ergebnis stimmt, wird es wohl ein vertipper sein. es kommt tatsächlich

2,76 \cdot 10^{- 4}

raus... wieso sollte das nicht stimmen? was meinst du denn mit "bei allen Werten" ? du musst doch nur

t = 0

einsetzen.

jetzt fehlt noch

A (t) = 0,1

Katharina-

19:48 Uhr, 16.01.2012

Kommt da für

t = 1,484 \cdot 10^{- 4}

heraus? Das kann ja nicht sein!

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20:17 Uhr, 16.01.2012

\frac{2}{1 + 4 e^{- 1,5 t + 7,5}} = 0,1

2 = 0,1 (1 + 4 e^{- 1,5 t + 7,5})

\frac{2}{0,1} = 1 + 4 e^{- 1,5 t + 7,5}

20 = 1 + 4 e^{- 1,5 t + 7,5}

19 = 4 e^{- 1,5 t + 7,5}

\frac{19}{4} = e^{- 1,5 t + 7,5}

ln (\frac{19}{4}) = ln (e^{- 1,5 t + 7,5})

ln (\frac{19}{4}) = - 1,5 t + 7,5

ln (\frac{19}{4}) - 7,5 = - 1,5 t

3,961 = t

Katharina-

20:33 Uhr, 16.01.2012

okay, ich habe mir noch mal alles angeguckt und denke, dass ich es jetzt verstanden habe.
Dankeschön!

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