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Logistisches Wachstum: Lösung der DGL

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: DGL, Integration, logistisches Wachstum

linolada aktiv_icon

19:17 Uhr, 06.11.2014

Hallo, ich hänge momentan bei der Integration fest. Meine bisherigen Lösungsansätze lauten:

1.

k = \frac{f ʹ (t)}{f (t) \cdot (S - f (t))}

2. Partialbruchzerlegung & Einführung von Korrekturfaktoren führen zu:

k = A \cdot \frac{f ʹ (t)}{f (t)} + B \cdot \frac{f ʹ (t)}{(S - f (t))} = \frac{f ʹ (t)}{f (t) \cdot (S - f (t))}

Um diese GL zu lösen, muss

A = B = \frac{1}{S}

. (Wäre schön, wenn mir das auch jmd. genauer erklären könnte. Aber kein "Muss" :-) )
3. Zusammengefasst ist das dann:

k = \frac{1}{S} \cdot \frac{f ʹ (t)}{f (t)} + \frac{1}{S} \cdot \frac{f ʹ (t)}{(S - f (t))}

4. Ich würde gerne von 0 nach t integrieren. Die Lösung habe ich schon:

k t = \frac{1}{S} \cdot l n (\frac{f (t)}{f (0)}) - \frac{1}{S} \cdot l n (\frac{S - f (t)}{S - f (0)})

Hauptproblem: Ich verstehe nicht ganz woher das

" - "

beim

l n

kommt. Ich freue mich auf gute Erklärungen! Vielen Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

21:34 Uhr, 06.11.2014

Hallo
leite einfach den

ln

wieder ab, dann siehst du woher das Minus kommt ( von dem

- f (t)

im Nenner.
Gruß ledum

linolada aktiv_icon

22:12 Uhr, 06.11.2014

Also die Ableitung müsste dann

\frac{1}{S - f (t)} \cdot - f ʹ (t)

sein, oder? Und da ich ja diesen Bruch habe, kann ich schreiben,

dass der "erste" Teil

l n (S - f (t))^{- 1}

ist. Das kann man jetzt umschreiben als

- l n (. . .)

?

Aber wohin verschwindet dann das

- f ʹ (t)

ledum aktiv_icon

12:09 Uhr, 08.11.2014

Hallo
du hast doch selbst gesehen dass die Ableitung

- f' \frac{t}{S - f (t)}

ergibt, wenn du also

+ f' \frac{t}{S - f (t)}

integrierst brauchst du das Minuszeichen. das war doch deine Frage?
anders du kennst das integral von

\frac{f'}{f}

du willst integrieren

\frac{f'}{S - f}

dann musst du substituieren

u = S - f u' = - f'

also musst du

- u' (u

integrieren.
Gruß ledum

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