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Lokale Extrema

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Jantscher

Jantscher aktiv_icon

17:42 Uhr, 27.03.2020

Antworten
Hallo, ich habe folgendes Problem mit dieser Aufgabe

f(x)=ln(|x|-1x2)

1) Asymptoten?
2) Extrema?

Definitionsbereich D={xR für die gilt |x|>1}

1)senkrechte Asymptote bei x=+1 und senkrechte Asymptote bei x=-1
keine waagrechte oder schiefe Asymptote.
Stimmt das?


2)Extrema

dazu mal vorher die Funktion ohne Betrag schreiben:

für alle x>1:=f1(x)=ln(x-1x2)
für alle x<1:=f2(x)=ln(-x-1x2)

Ableitung für x>1: f1´(x)= -x-2x2-x
0=-x-2x2-xx=2
Jetzt gehört noch nachgeschaut ob an Stelle x=2 Maximum oder Minimum ist. Ich muss dafür das "Vorzeichenwechselkriterium" anwenden und leider nicht einfach die zweite Ableitung..
Heißt x in der Nähe von x=2 ausrechnen (habe x=1, und x=2,5 genommen) und Vorzeichen davon beachten:
f´(1,5)=2/3 und f´(2,5)= -219 von positiv zu negativer Ableitung-> Maximum




Ableitung für x<1: f2´(x)= -x+2x2+x
0=-x+2x2+xx=-2
Wieder das Vorzeichenwechselkriterium angewandt( x=-1,5 und x=-2,5)
f´(-1,5)= -23 und f´(-2,5)= 215 also von negativer zu positiver Ableitung-> Minimum
DAS ZWEITE MINIMUM BEI X=-2 STIMMT ABER LAUT WOLFRAMALPHA NICHT, was mache ich falsch?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Stephan4

Stephan4

18:29 Uhr, 27.03.2020

Antworten
Genau umgekehrt:
f2'(-1,5)>0     f2'(-2,5)<0

H oder T sagt auch die zweite Ableitung an der entsprechenden Stelle. Die muss man erst mal bestimmen.

Eselsbrücke: Smiley und sein Mund. Wenn y'' positiv, dann lacht Smiley. Sein Mund ist wie eine Fuktion mit Tiefpunkt.
Wenn y'' neg., ist Smiliey traurig. Hochpunkt.


und:

f1(x) für x0 und nicht 1(!), denn x steht in den Absolutklammern, nicht x-1.


Jantscher

Jantscher aktiv_icon

18:36 Uhr, 27.03.2020

Antworten
Ja aber die zweite Ableitung darf nicht angewandt werden laut Aufgabe, es muss mit dem "Vorzeichenwechselkriterium" gemacht werden.
Meine obigen Werte müssten alle stimmen..

Ja aber mit ab 1 bzw ab -1 hab ich gleich den Definitionsbereich berücksichtigt.


Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

19:05 Uhr, 27.03.2020

Antworten
.

"Stimmt das?"

................. JA - den Teil 1 der Aufgabe hast du richtig


zu Beginn von Teil 2 hast du einen SCHREIBFEHLER :
(da du f nur für xD aufschreiben solltest !)

FALSCH ->"... für alle x<1:=f2(x)=ln(-x-1x2)... "
RICHTIG .. für alle x<-1:=f2(x)=ln(-x-1x2)...

und ja: bei x=2 ist ein Maximum !! von f1(x)
(da limu0u=-..... hier u0 für x+1+ und für x+)

nun gilt :

für alle x<-1 hat g(x)=-x-1x2 genau die gleichen y-Werte wie h(x)=x-1x2 für x>1

dh:
wenn du den Teil des Graphen von h(x) der rechts von x=+1 liegt,
an der y-Achse spiegelst, dann bekommst du den Teil des Graphen von g(x), der links von x=-1 liegt

also besteht der Graph von f(x)=ln(|x|-1x2) aus zwei zueinander axialsymmetrischen Ästen
(einer rechts von x=+1, der andere Ast links von x=-1)

und deshalb hast du bei x=-2 und bei x=+2 zwei axialsymmetrisch liegende Maxima des Graphen von f(x)

ok?
.
Jantscher

Jantscher aktiv_icon

19:24 Uhr, 27.03.2020

Antworten
Hallo, danke da hab ich mich vertippt.

Das klingt alles sehr gut was du schreibst aber kann man im Intervall x<-1 das Maxima mit dem "Vorzeichenwechselkriterium" "beweisen".

Beim Intervall x>1 hab ich das ja ach gekonnt und bin so zum Schluss gekommen dass es ein Maxima ist..
Geht das beim Intervall x<-1 nicht auch mittels Vorzeichenwechselkriterium ?
Also das man jetzt sagt man nimmt sich Stellen in der Nähe von x=-2, einmal rechts und einmal links von x=-2 und sieht sich dann die Ableitungsvorzeichen an und kommt dann darauf, dass es sich um ein Maximum handelt?
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

19:55 Uhr, 27.03.2020

Antworten
.
"..mit dem "Vorzeichenwechselkriterium" "

und wo ist da denn noch das Problem?

du hast doch zB zu Beginn schon ausgerechnet, dass f'(x)=-x+2x2+x.. FÜR ALLE x<-1

so
und nun ist für ALLE x links von x=-2 dieser Term f' POSITIV egal welches x<-2 du wählst
f(x) steigt für alle x mit -<x<-2

rechts von x=-2 ist FÜR ALLE x mit -2<x<-1 der Term -x+2x2+x NEGATIV
f(x) fällt FÜR ALLE x mit -2<x<-1

also:
(-2;-ln(4))....... IST EIN MAXIMUM des Graphen von f(x)

ok?
Nebenbei: siehst du nun dein ersehntes "Vorzeichenwechselkriterium" ? :-)

.

Antwort
abakus

abakus

20:29 Uhr, 27.03.2020

Antworten
"(-2;-ln(4))....... IST EIN MAXIMUM von f(x)."

Vorsicht bei Verwendung von Fachbegriffen. Ein Punkt kann nicht Maximum sein.
Er kann ein ExtremPUNKT sein. Seine x-Koordinate ist dann eine ExtremSTELLE.
Seine y-Koordinate ist dann ein EXTREMUM (wie z.B. ein Maximum).

Immer wieder gerne.
Frage beantwortet
Jantscher

Jantscher aktiv_icon

19:05 Uhr, 29.03.2020

Antworten
Danke, jetzt ist alles klar.
Frage beantwortet
Jantscher

Jantscher aktiv_icon

19:06 Uhr, 29.03.2020

Antworten
Danke, jetzt ist alles klar.