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Lokale Extrema

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Funktionen

Tags: Funktion

Jantscher aktiv_icon

17:42 Uhr, 27.03.2020

Hallo, ich habe folgendes Problem mit dieser Aufgabe

f (x) = ln (\frac{| x | - 1}{x^{2}})

1)

Asymptoten?

2)

Extrema?

Definitionsbereich

D = {x \in R

für die gilt

| x | > 1}

1)senkrechte Asymptote bei

x = + 1

und senkrechte Asymptote bei

x = - 1

keine waagrechte oder schiefe Asymptote.
Stimmt das?

2)Extrema

dazu mal vorher die Funktion ohne Betrag schreiben:

für alle

x > 1 := f 1 (x) = ln (\frac{x - 1}{x^{2}})

für alle

x < 1 := f 2 (x) = ln (\frac{- x - 1}{x^{2}})

Ableitung für

x > 1 :

f1´(x)=

- \frac{x - 2}{x^{2} - x}

0 = - \frac{x - 2}{x^{2} - x} \to x = 2

Jetzt gehört noch nachgeschaut ob an Stelle

x = 2

Maximum oder Minimum ist. Ich muss dafür das "Vorzeichenwechselkriterium" anwenden und leider nicht einfach die zweite Ableitung..
Heißt

x

in der Nähe von

x = 2

ausrechnen (habe

x = 1,

und

x = 2,5

genommen) und Vorzeichen davon beachten:
f´(1,5)=2/3 und f´(2,5)=

- \frac{2}{19} \to

von positiv zu negativer Ableitung-> Maximum

Ableitung für

x < 1 :

f2´(x)=

- \frac{x + 2}{x^{2} + x}

0 = - \frac{x + 2}{x^{2} + x} \to x = - 2

Wieder das Vorzeichenwechselkriterium angewandt(

x = - 1,5

und

x = - 2,5)

f´(-1,5)=

- \frac{2}{3}

und f´(-2,5)=

\frac{2}{15} \to

also von negativer zu positiver Ableitung-> Minimum
DAS ZWEITE MINIMUM BEI

X = - 2

STIMMT ABER LAUT WOLFRAMALPHA NICHT, was mache ich falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Stephan4

18:29 Uhr, 27.03.2020

Genau umgekehrt:

f_{2}' (- 1,5) > 0 f_{2}' (- 2,5) < 0

H

oder

T

sagt auch die zweite Ableitung an der entsprechenden Stelle. Die muss man erst mal bestimmen.

Eselsbrücke: Smiley und sein Mund. Wenn

y''

positiv, dann lacht Smiley. Sein Mund ist wie eine Fuktion mit Tiefpunkt.
Wenn

y''

neg., ist Smiliey traurig. Hochpunkt.

und:

f_{1} (x)

für

x \geq 0

und nicht

1 (!),

denn

x

steht in den Absolutklammern, nicht

x - 1

Jantscher aktiv_icon

18:36 Uhr, 27.03.2020

Ja aber die zweite Ableitung darf nicht angewandt werden laut Aufgabe, es muss mit dem "Vorzeichenwechselkriterium" gemacht werden.
Meine obigen Werte müssten alle stimmen..

Ja aber mit ab 1 bzw ab

- 1

hab ich gleich den Definitionsbereich berücksichtigt.

rundblick aktiv_icon

19:05 Uhr, 27.03.2020

.

"Stimmt das?"

... ... ... ... ... .

\to

JA - den Teil 1 der Aufgabe hast du richtig

\to

zu Beginn von Teil 2 hast du einen SCHREIBFEHLER :
(da du

f

nur für

x \in D

aufschreiben solltest

!)

FALSCH ->"... für alle

x < 1 := f 2 (x) = ln (\frac{- x - 1}{x^{2}}) . .

. "
RICHTIG

\to .

. für alle

x < - 1 := f 2 (x) = ln (\frac{- x - 1}{x^{2}}) . .

.

und ja: bei

x = 2

ist ein Maximum

!!

von

f_{1} (x)

(da

lim_{u \to 0} u = - \infty ... .

. hier

u \to 0 \to

für

x \to + 1^{+}

und für

x \to + \infty)

nun gilt :

für alle

x < - 1

hat

g (x) = \frac{- x - 1}{x^{2}}

genau die gleichen y-Werte wie

h (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}

für

x > 1

dh:
wenn du den Teil des Graphen von

h (x)

der rechts von

x = + 1

liegt,
an der y-Achse spiegelst, dann bekommst du den Teil des Graphen von

g (x),

der links von

x = - 1

liegt

also besteht der Graph von

f (x) = ln (\frac{| x | - 1}{x^{2}})

aus zwei zueinander axialsymmetrischen Ästen
(einer rechts von

x = + 1,

der andere Ast links von

x = - 1)

und deshalb hast du bei

x = - 2

und bei

x = + 2

zwei axialsymmetrisch liegende Maxima des Graphen von

f (x)

ok?
.

Jantscher aktiv_icon

19:24 Uhr, 27.03.2020

Hallo, danke da hab ich mich vertippt.

Das klingt alles sehr gut was du schreibst aber kann man im Intervall

x < - 1

das Maxima mit dem "Vorzeichenwechselkriterium" "beweisen".

Beim Intervall

x > 1

hab ich das ja ach gekonnt und bin so zum Schluss gekommen dass es ein Maxima ist..
Geht das beim Intervall

x < - 1

nicht auch mittels Vorzeichenwechselkriterium ?
Also das man jetzt sagt man nimmt sich Stellen in der Nähe von

x = - 2,

einmal rechts und einmal links von

x = - 2

und sieht sich dann die Ableitungsvorzeichen an und kommt dann darauf, dass es sich um ein Maximum handelt?

rundblick aktiv_icon

19:55 Uhr, 27.03.2020

.
"..mit dem "Vorzeichenwechselkriterium" "

und wo ist da denn noch das Problem?

\to

du hast doch zB zu Beginn schon ausgerechnet, dass

f' (x) = - \frac{x + 2}{x^{2} + x} .

. FÜR ALLE

x < - 1

so
und nun ist für ALLE

x

links von

x = - 2

dieser Term

f'

POSITIV

\to

egal welches

x < - 2

du wählst

\Rightarrow f (x)

steigt für alle

x

mit

- \infty < x < - 2

rechts von

x = - 2

ist FÜR ALLE

x

mit

- 2 < x < - 1

der Term

- \frac{x + 2}{x^{2} + x}

NEGATIV

\Rightarrow f (x)

fällt FÜR ALLE

x

mit

- 2 < x < - 1

also:

(- 2; - ln (4)) ... ...

. IST EIN MAXIMUM des Graphen von

f (x)

ok?
Nebenbei: siehst du nun dein ersehntes "Vorzeichenwechselkriterium" ? :-)

.

abakus

20:29 Uhr, 27.03.2020

"(-2;-ln(4))....... IST EIN MAXIMUM von f(x)."

Vorsicht bei Verwendung von Fachbegriffen. Ein Punkt kann nicht Maximum sein.
Er kann ein ExtremPUNKT sein. Seine x-Koordinate ist dann eine ExtremSTELLE.
Seine y-Koordinate ist dann ein EXTREMUM (wie z.B. ein Maximum).

Immer wieder gerne.

Jantscher aktiv_icon

19:05 Uhr, 29.03.2020

Danke, jetzt ist alles klar.

Jantscher aktiv_icon

19:06 Uhr, 29.03.2020

Danke, jetzt ist alles klar.

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