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Lokale Extrema f(x,y) | Hesse Matrix , Gradient.

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Determinanten

Tags: Determinanten, Differentiation

MassMath45 aktiv_icon

21:33 Uhr, 14.07.2015

Hallo! Ich bins mal wieder :-)

Ich komme wieder bei einer Aufgabe nicht weiter. Im Foliensatz und im Skript steht eig. alles was nötig ist, aber ein Schritt fehlt mir, ich hoffe ich kann es verständlich darlegen.

Es sollen lokale Extrema von Funktionen gefunden werden, die von 2 Variablen abhängen.

f (x, y) = x y - x^{2} e^{y}

Ich wollte die Aufgabe folgendermaßen lösen.

1) Gradienten ausrechnen.

Gradient=

(y - 2 x e^{y})

Gradient=

(x - x^{2} e^{y})

Dann steht im Skript der Gradient muss dem 0-Vektor entsprechen. Dafür rechne ich dann ein

x_{0}

udn ein

y_{0}

aus. Diese Werte wiederum setze ich in die Determinante der Hesse Matrix ein und in die zweite part. Ableitung nach

x

. Dafür haben wir eine Tabelle bekommen in der dann das entsprechende Extremum steht.

Aber ich komme beim Gradienten nicht weiter, ich weiß nicht, wie ich x_0 und y_0 finde.

Das hier ist die Lösung. Auf 0,0 wäre ich noch selbst gekommen.
h besitzt einen Sattelpunkt in

(x, y) = (0, 0)

und ein lokales Maximum in

(x, y) = (e^{- 2}, 2)

.

Wie also geht man am besten an der Stelle mit dem Gradienten vor?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

roggenfaenger aktiv_icon

23:36 Uhr, 14.07.2015

Hallo,

die notwendige Bedingung für die Existenz eines (mehrdimensionalen) Maximum ist:

g r a d f (x, y) = \vec{0}

d.h., dass du deine Funktion f einmal nach x und einmal nach y ableiten musst und beide sollen "gleich null" sein.

f_{x} (x, y) = y - 2 x e^{y} = 0

f_{y} (x, y) = x - x^{2} e^{y} = 0

den trivialen Fall, dass beide Gleichungen für

(x, y) = (0, 0)

erfüllt ist, hast du schon!
Den anderen Punkt bekommst du heraus, indem du Gleichung I (

f_{x}

) nach

e^{y}

umstellst und das in Gleichung II einsetzt. Jenes Ergebnis wiederum in Gleichung I liefert dir den Punkt

(x, y) = (e^{-} 2, 2)

!

Die Hesse-Matrix ist die hinreichende Bedingung.. Mit ihr kannst du bestimmen, ob Maxima/Minima oder Sattelpunkt vorliegt.

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!202:-D)ie_Hesse_-_Matrix

MassMath45 aktiv_icon

08:34 Uhr, 15.07.2015

Danke sehr für die Tipps, das hat geholfen!

MassMath45 aktiv_icon

10:23 Uhr, 15.07.2015

Jetzt muss ich doch nochmal rückfragen:

Ich habe hier die nächste Funktion:

f (x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 (x^{2} - y^{2})

Mein Gradient sieht so aus:

x = 4 x [(x^{2} + y^{2}) - 1]

y = 4 y [(x^{2} + y^{2}) + 1]

Auch hier ist wieder die triviale Lösung x,y = 0 zu finden. Aber wenn ich den 2 Term betrachte, wird der ansonsten nie 0. Wie kann

(x^{2} + y^{2}) + 1

denn

0

werden? Und in der Lösung ist nun wieder angegeben:

(x, y) = (1, 0)

und

(x, y) = (- 1, 0)

Die Ableitungen stimmen doch aber, ich habs jetzt 3x nachgerechnet und komme immer auf dasselbe. Wo ist der Fehler?

Roman-22

11:05 Uhr, 15.07.2015

>

Die Ableitungen stimmen doch aber, ich habs jetzt

3 x

nachgerechnet und komme immer auf dasselbe. Wo ist der Fehler?

Ja, deine Ableitungen sind richtig - deine Überlegungen aber offenbar nicht ganz.
Es stimmt, dass

f_{y} (x, y)

(und dafür sollte man nicht einfach

y

schreiben, so wie du das machst) nur für

y = 0

Null wird, denn der Klammerausdruck kann hier für reelle

x

und

y

nicht Null werden.
Für jede kritische Stelle muss also

y = 0

gelten. Mit dieser Erkenntnis wandern wir nun zur ersten Gleichung

f_{x} (x, y) = 0

und setzen dort

y = 0

ein (den Faktor 4 können wir weg lassen):

x \cdot (x^{2} - 1) = 0

Und nun überlege dir dafür die drei Lösungen und hast damit drei in Frage kommende kritische Stellen, die es weiter zu untersuchen gilt! Allen diesen Stellen ist

y = 0

gemeinsam, aber da widerspricht deine Musterlösung ja ohnedies nicht.

R

MassMath45 aktiv_icon

11:48 Uhr, 15.07.2015

Achsoo ist das. Ja, jetzt verstehe ich auch, was im Skript mit dem Begriff "wir halten y fest..." gemeint ist!
Besten Dank euch beiden!

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