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Lokale Stabilität nichtlinearer DGL 1. Ordnung

Universität / Fachhochschule

Tags: DGl 1. Ordnung, Lokale Stabilität

michi9692 aktiv_icon

10:21 Uhr, 11.01.2017

Guten Tag,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht auf das richtige Ergebnis:

Untersuchen Sie die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung an ihren stationären Punkten auf lokale Stabilität.

y' = f (y) = 2 y^{3} - 4 y^{2} + 2

zuerst werden die Nullstellen und Extremwerte bestimmt,

also für

y 01 = 1

und

y 02 = - 1

(durch probieren).

f' (y) = 6 y^{2} - 8 y

f'(ye)=6ye^2-8ye=0 somit

y = \frac{4}{3}

(richtig ?)

f

(ye) somit

- \frac{10}{27}

(richtig?)

f'' (y) = 12 y - 8 - \to 12 y - 8 > 0

und somit ein Minium bei

(\frac{4}{3}, - \frac{10}{27})

(richtig?)

durch linearisieren mit der Taylorentwicklung 1. Ordnung erhalte ich:

6 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 = - 2

. Also ist

y 01 = 1

ein stabiler stationärer Punkt

und

6 \cdot {(- 1)}^{2} - 8 \cdot (- 1) = 14

. Also ist

y 02 = - 1

ein instabiler stationärer Punkt.

Das Ergebnis sollte aber lauten:

y 01 = 0

instabiler stationärer Punkt

y 02 = 1

indifferenter stationärer Punkt

MfG

Michi

michi9692 aktiv_icon

11:01 Uhr, 11.01.2017

Sehe gerade, dass

- 1

als Nullstelle nicht stimmt und dass über Substitution mit

x^{2} = u

die Mitternachtsformel angewendet werden kann. Erhalte aber dadurch nur die Nullstelle 1.

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12:39 Uhr, 11.01.2017

"dass über Substitution mit

x^{2} = u

die Mitternachtsformel angewendet werden kann."

Kann nicht. Und Du meinst sicher

y^{2} = u

und nicht

x^{2} = u

.

"Erhalte aber dadurch nur die Nullstelle 1."

Dann teile das Polynom durch

y - 1

michi9692 aktiv_icon

13:01 Uhr, 11.01.2017

Ja genau das war ein Tippfehler von mir, natürlich

y

.

Wenn ich durch

y - 1

teile erhalte ich

2 y^{2} - 2 y - 2

bzw

2 (y^{2} - y - 1)

. Stehe allerdings jetzt gerade etwas auf dem Schlauch.

DrBoogie aktiv_icon

13:05 Uhr, 11.01.2017

"Stehe allerdings jetzt gerade etwas auf dem Schlauch."

Wieso? Weißt Du nicht, wie man Nullstellen eines quadratischen Polynoms findet?

michi9692 aktiv_icon

13:16 Uhr, 11.01.2017

Über die Mitternachtsformel, bekomme aber dann

\frac{2 + \sqrt{20}}{4}

und

\frac{2 - \sqrt{20}}{4}

. Oder habe ich mich jetzt komplett verrechnet

DrBoogie aktiv_icon

13:19 Uhr, 11.01.2017

Wieso aber?

Du kannst noch durch

2

kürzen.

michi9692 aktiv_icon

13:26 Uhr, 11.01.2017

Genau dann erhalte ich

\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

. Aber wie komme ich dann auf 0?

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13:34 Uhr, 11.01.2017

Auf welche

0

michi9692 aktiv_icon

13:38 Uhr, 11.01.2017

Laut der Lösung sind die beiden stationären Punkte 0 und 1

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13:45 Uhr, 11.01.2017

Dann hast Du wohl die Aufgabe falsch abgeschrieben.

Übrigens, Nullstellen der Funktion haben nichts mit stationären Punkten zu tun. Diese sind Nullstellen der Ableitung.

michi9692 aktiv_icon

14:09 Uhr, 11.01.2017

mal abgesehen von den Nullstellen: Würde die Rechnung von den einzelnen Schritten her so stimmen?

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14:24 Uhr, 11.01.2017

Ich verstehe nicht, wie Du Stabilität untersuchst.
Und übrigens würde (wie immer) die Originalaufgabe helfen, am besten als Bild.

michi9692 aktiv_icon

14:46 Uhr, 11.01.2017

Die Stabilität ermittle ich über die Taylorentwicklung 1. Ordnung.

f' (y 0) \cdot (y - y 0)

f' (y 0)

ergibt doch durch Einsetzen der Nullstellen in

y 0

den Eigenwert, welcher dann festlegt ob es sich um einen instabilen oder stabilen Punkt handelt (größer, gleich oder kleiner 0)?. Oder hab ich das falsch verstanden?

DrBoogie aktiv_icon

14:53 Uhr, 11.01.2017

Merkwürdig.

0

ist doch gar kein stationärer Punkt.
Sonst glaube ich, dass Du alles richtig machst.

michi9692 aktiv_icon

15:03 Uhr, 11.01.2017

Alles klar Danke! Bei den anderen Aufgaben komme ich auch immer auf die richtigen Ergebnisse.

Werde morgen nochmal beim Tutor nachfragen.

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