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Lokale invertierbarkeit einer Funktion?
Universität / Fachhochschule
Tags: lokale Invertierbarkeit, mehrdimensionale Analysis
 
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Hallo, ich soll folgende Aufgabe lösen: "Wo ist lokal invertierbar?" Laut dem Satz über invertierbarkeit muss die Funktion stetig und bijektiv sein, oder? Stetig sit sie auf jedenfalls, da sie eine Komposition von stetigen Funktionen ist. Jedoch wie zeige ich die bijektivität? Das habe ich noch nie gemacht....:-( Wie komme ich damit dann auf die Punkte, wo F invertierbar ist? Grüße Sunny Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Sieh dir den Satz über Invertierbarkeit nochmal genauer an. (jedenfalls vermute ich, dass es der ist, den ich z.B. als Satz über die Umkehrfunktion kenne) Es geht um LOKALE Invertierbarkeit; dazu ist die Bijektivität der gesamten Funktion (eine globale Eigenschaft) vöölig bedeutungslos. |
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Hi, ja, dass ist der Satz. Naja, eine Funktion heißt in a lokal invertierbar, wenn die Funktionaldeterminante davon ≠ 0 ist. Die anderen Eigenschaften weiß ich aber nicht, wie ich sie zeigen soll (mit der -Umgebung etc.). Außerdem müsste ich doch so alle! Punkte prüfen.... Es wird ja gefragt, wo die Funktion Lokal invertierbar ist, was heißt, dass mehrere Punkte sein können. Also wäre der Erste Schritt, Jacobimatrix aufstellen und dann schauen, wo die Determinante ungleich 0 ist. Aber dann? |
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Das ist doch schon der ganze Weg zur Lösung: Bilde die Jacobi-Matrix und bestimme diejenigen Punkte , an denen sie nichtsingulär ist. |
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Hi, Die Jacobi-Matrix lautet dann doch: Und daher die Determinante: => Det(J) wird nur 0, wenn x oder y oder beide 0 sind. => Ergebnis: f ist in allen Punkten Lokal invertierbar, außer wenn für x und/oder y gilt: Und was ist mir der Umgebung? Muss ich nicht mehr zeigen? |
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Was denn für eine Umgebung? Wenn die Ableitung nichtsingulär ist, dann ist die Aussage des zitierten Satzes, dass im Urbild- und Bildbereich Umgebungen existieren, so dass [...] Die Existenz musst du also nicht mehr selbst nachweisen. Und ja, außerhalb der beiden Koordinatenachsen ist die Funktion lokal invertierbar. |
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Dann habe ich beim Abschreiben gefailed. Habe das existieren vergessen. Dann ist das ja ziemlich einfach, oder? |
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Ja, eigentlich schon ;-) Man soll halt nur üben, den Satz anwenden zu können. |
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Danke! |
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