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Lokalen Maxima,Minima und Sattelpunkte bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: lokale maxima, lokale minima, sattel

wimb24 aktiv_icon

16:13 Uhr, 12.11.2023

Hallo zusammen!

Hier ist der Funktion

h : ℝ^{2} \to ℝ, h (x, y) = cos (x) \cdot sin (y)

und die folgende ist

h_{x} = - sin (x) \cdot sin (y)

h_{y} = cos (y) \cdot cos (x)

h_{x} = - (- \frac{1}{2} (cos (x + y) - cos (x - y))) = 0

h_{y} = (\frac{1}{2} (cos (x + y) + cos (x - y))) = 0

wie könnte hier noch weiterrechnen,damit ich diese Gleichung lösen und lokal

min, max

und sattelpunkt finden kann

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

13:05 Uhr, 13.11.2023

Hallo
bleib bei der ersten Darstellung, da hast du

h_{x} = 0

für

x = 0 + k \cdot π

daraus folgt dann für

h_{y} = 0

cos(x)=±1 also

cos (y) = 0 y = ...

.
entsprechend für

h_{x} = 0 sin (y) = o

und das in

h_{y}

eingesetzt findest du die Laien entlang derer die

max

und

min

liegen, gut zu sehen in dem Bildchen (geogebra

3 d)

Gruß ledum

HAL9000

14:50 Uhr, 13.11.2023

Ja, Nullproduktsatz ist hier weit eher zu empfehlen als Additionstheoreme - letztere machen die Nullstellenbestimmung hier eher noch komplizierter. Kurzum, Nullsetzen der partiellen Ableitungen ergibt per Nullproduktsatz als kritische Punkte

1)

x = k π, y = m π + \frac{π}{2}

sowie umgekehrt

2)

x = k π + \frac{π}{2}, y = m π

mit beliebigen ganzen Zahlen

k, m

.

Ohne Bildchen könnte man nun beispielsweise die Hesse-Matrix zur Klassifizierung der Extremwertkandidaten nehmen (a), oder man begründet lokales Minimum/Maximum bzw. Sattelpunkt "elementar" (b).

Ich bleibt zunächst mal bei (a): Die Hesse-Matrix lautet hier

H = (\begin{array}{rr} - \cos (x) \sin (y) & - \sin (x) \cos (y) \\ - \sin (x) \cos (y) & - \cos (x) \sin (y) \end{array})

Rechnen wir das doch mal für 1) und 2) aus.

1):

H = (\begin{array}{cc} - {(- 1)}^{k + m} & 0 \\ 0 & - {(- 1)}^{k + m} \end{array})

Das bedeutet: Matrix positiv definit = lokales Minimum, falls

k + m

ungerade ist; und Matrix negativ definit = lokales Maximum, falls

k + m

gerade ist.

2)

H = (\begin{array}{cc} 0 & - {(- 1)}^{k + m} \\ - {(- 1)}^{k + m} & 0 \end{array})

Diese Matrix besitzt die Eigenwerte 1 und -1, daher handelt es sich hier sämtlich um Sattelpunkte.

Hinsichtlich (b): Es tauchen bei 1) je nach

k, m

nur die Funktionswerte 1 sowie -1 auf, die zweifelsohne die globalen Extremwerte der Funktion

h

sind, dabei sind die ganzen Stellen mit

h = 1

globale wie lokale Maximumstellen und die Werte mit

h = - 1

entsprechend globale wie lokale Minimumstellen.

Bei 2) sieht man unmittelbar Funktionswert

h = 0

an allen diesen Stellen, und man findet problemlos in jeder

ε

-Umgebung dieser Stellen Punkte mit positiven sowie auch Punkte mit negativem

h

-Funktionswert. Daher kann es sich bei 2) nur um Sattelpunkte handeln.

wimb24 aktiv_icon

08:39 Uhr, 14.11.2023

Ich hab auch genauso gelöst, wie du geschrieben hast, danke aber trotzdem!

HAL9000

08:45 Uhr, 14.11.2023

Diese "Trotzdem"-Bedankungen sind immer die allerschönsten - da weiß man doch gleich, was die eigene Mühe wert war.

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