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Lotto „6 aus 49“

Universität / Fachhochschule

Tags: Kombinatorik

Bruno Math

19:11 Uhr, 15.07.2018

Kann mir Einers bei folgender Aufgabe Hinweise geben:

Betrachten Sie das klassische Lotto „6 aus 49“, welches man mittlerweile auch online spielen kann. Angenommen, Sie nutzen ein Programm, welches selbstständig und unabhängig voneinander zufällige Tippreihen in hoher Anzahl online spielen kann.

(i) Wieviele Tippreihen müssen Sie das Programm mindestens spielen lassen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens einmal die sechs richtigen Zahlen zu tippen?

Lösungsvorschlag:

\frac{n}{(49 ü b e r 6)} \geq 0, 5 \Rightarrow n = 6991908

?

(ii) Wenn Sie so viele Tippreihen wie in (i) spielen: Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, sogar mehr als drei Mal die Zahlen zu tippen?

Ich weiß ich muss berechnen, wie hoch die W‘keit für 0 mal, 1 mal, 2 mal und 3 mal sechs richtige Zahlen ist und dann die Gegenwahrscheinlichkeit nutzen. Aber wie machen ich das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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19:23 Uhr, 15.07.2018

p = \frac{1}{(\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix})}

GegenWKT

= 1 - p

1 - {(1 - p)}^{n} \geq 0,5

n \geq 9692875

ii)

P (X \geq 3) = 1 - P (X \leq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) - P (X = 2)

Bruno Math

19:39 Uhr, 15.07.2018

Kannst du mir erklären, wieso du 1-(1-p)^n rechnest?

Roman-22

20:08 Uhr, 15.07.2018

p

ist bei supporter die WKT, sechs Richtige zu tippen.

1 - p

ist daher die WKT, NICHT 6 richtige zu tippen.
Bei

n

Spielen mindestens einmal sechs Richtige zu haben ist das Gegenereignis zu "bei

n

Spielen n-mal NICHT 6 Richtige zu haben". Dafür ist die WKT daher

{(1 - p)}^{n}

. Was da nun noch auf

100 %

fehlt, also

1 - {(1 - p)}^{n},

das ist daher die WKT, mindestens einmal einer Sechser zu tippen.
Was den Zahlenwert anlangt, so ist der von supporter gegebene zwar in der richtigen Größenordnung, aber trotzdem nicht ganz richtig.
Es müsste

n \geq 9692843

sein.

Was den zweiten Teil der Angabe anlangt, so war dein Ansatz schon der Richtige.
supporter hat fälschlicherweise

P (X \geq 3)

anstelle von

P (X > 3)

angenommen.

Bruno Math

11:29 Uhr, 16.07.2018

Zu (i): die habe ich jetzt verstanden, Danke!

Zu (ii): muss ich jetzt hier die Binomialverteilung mit n=9692874 und p=1/(49 über 6) benutzen?

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11:35 Uhr, 16.07.2018

Also ich komme mit meinem TR bei

i)

auf

n \geq 9692875,

wenn ich aufrunde.
Diesen Wert müsstest du nehmen.
Ich habe zuvor nicht gerundet. :-)

Bruno Math

11:53 Uhr, 16.07.2018

Ich habe das dann so gerechnet:

P (X > 3) = 1 - P (X \leq 3) = 1 - \sum_{k = 0}^{3} (9692875 ü b e r k) \cdot (\frac{1}{(49 ü b e r 6)})^{k} \cdot (1 - \frac{1}{(49 ü b e r 6)})^{9692875 - k} = 0, 55 % ?

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12:02 Uhr, 16.07.2018

Ansatz passt, habs aber nicht nachgerechnet. :-)

Roman-22

12:08 Uhr, 16.07.2018

>

Also ich komme mit meinem TR bei

i)

auf n≥9692875, wenn ich aufrunde.
Ja, das glaube ich dir gern. Und dein TR hat sich sicher auch redlich bemüht, ist aber bei dieser Kalkulation an seine (Genauigkeits-)Grenzen gestoßen.

>

Zu (ii): muss ich jetzt hier die Binomialverteilung mit

n = 9692874

Nein,

n = 9692843

>

und

p = \frac{1}{49}

über

6)

benutzen?
Ja.

Hier schlagen bei dir und auch bei supporter offenbar schon TR Ungenauigkeiten zu.
Bei Verwendung besserer Werkzeuge ergibt sich für

n

der Wert, den ich oben genannt hatte und die WKT von ii) liegt ganz ganz knapp unter

50 %

.
Ihr könnt ja mal versuchen, ob Onkel Wolfram die Rechnungen genauer hinbekommt - ich vermute, dass er das schaffen wird;-)

Bruno Math

12:10 Uhr, 16.07.2018

Über die Genauigkeiten lässt sich jetzt noch diskutieren, mir ist nur wichtig, dass der Rechenweg stimmt. Danke euch beiden!

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